Zeige: Gilt A= -A^t so hat A*x =0 keine triviale Lösung.

Question

Hallo :)

Ich muss zeigen, dass, wenn

A= -A^t gilt, so hat Ax=0 keine triviale Lösung.(A∈R^n,n n ungerade )

Wie gehe ich da vor ?

Dabei fürs Helfen !

Comments

Was meinst du genau mit "Ax=0 hat keine triviale Lösung." ?

x = Nullvektor ist doch bestimmt eine Lösung von Ax = 0. 

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Vielleicht soll es heißen "keine nicht-triviale Lösung".

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Was allerdings keinen Sinn macht, da für A = 0 jedes x Lösung von Ax = 0 ist.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Schiefsymmetrische_Matrix

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keine triviale eine nicht-triviale

Answer 1

Wenn \( n \) ungerade ist folgt aus dem Wiki Link \( \det(A) = 0 \) und damit ist \( A \) nicht invertierbar und die Gleichung \( Ax = 0 \) besitzt nicht triviale Lösungen.

Answer 2

also für ungerade \( n \) gilt \( \det(-A) = - \det(A) \).

Mit \( A = -A^T \) und \( \det(A) = \det(A^T) \) gilt \( \det(A) = \det(-A^T) = - \det(A) \).

Daraus folgt \( \det(A) = 0 \), sodass \( Ax = 0 \) nicht triviale Lösungen enthält.

Anders ausgedrückt ist der Kern von \( A \) ungleich Null: \( \ker(A) \neq 0 \).

Mister