Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung mit Bruch (x^2 + 1) / (5x +2) > 1

Question

Bestimmen Sie die lösungsmengen der folgenden ungleichungenin in ℕ,ℤ und ℝ und stellen Sie sie graphisch auf der Zahlenwerte dar:

(x^2 + 1) / (5x + 2) > 1 , x≠-2/5

Mein ansatz:

x2 + 1 > 5x +2

x^2 - 5x -1 > 0

p-q Formel anwenden

x1= 5,19

X2= -0,19

Dankeschön

Comments

Meinst du vielleicht:

(x^2 + 1) / (5x + 2) > 1 , x≠-2/5

? 

Setze bitte Klammern. 

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Ja genau das meine ich

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EDIT: Habe die Darstellung in deiner Fragestellung nun korrigiert.

Answer 1

Hallo Samira,

du kannst auch - wie bei Bruchgleichungen üblich - mit dem Nenner multiplizieren. Dann musst du aber die beiden Fälle   Nenner > 0  und Nenner < 0  unterscheiden, weil sich bei Multiplikation mit dem negativen Nenner das  > - Zeichen umdreht ( > → < ):

1. Fall:    5x + 2 > 0   ⇔  x > - 2/5

(x² + 1) / (5x + 2) > 1     | • (5x+2) 

x² + 1 > 5x + 2

x² - 5x - 1 > 0

Mit der pq-Formel erhältst du für  x² - 5x - 1 = 0 die Lösungen 

x₁ = 5/2 - √29/2  ,  x₂ = √29/2 + 5/2    (also ≈ ∨ x₁ = -0.1925824035    x₂ = 5.192582403 )

Da der Term eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, hat er für x < x₁ und für x > x₂ einen postitiven Wert ( für x₁ < x < x₂  einen negativen Wert). 

Wegen x > - 2/5  →   L₁ ≈  ] -2/5 ; -0,1926 [  ∪ ]  5,1926 ; ∞ [

2. Fall:    5x + 2 < 0   ⇔  x < - 2/5

wie oben ergibt sich diesmal   x² + 1 < 5x + 2

x² - 5x - 1 < 0  für  -0,1926 < x <  5.1926

Wegen x < - 2/5  →  L₂ = { }

L = L₁ ∪ L₂  ≈ ] -2/5 ; -0,1926 [ ∪  ]  5,1926 ; ∞ [

Gruß Wolfgang

Comments

2. Fall ist bei mir:x^2 - 5x -1 < 0

Ich komme aber nicht weiter weil es ja eigentlich wie oben wieder auf die gleichen x-werte komme wegen der pq Formel.

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Ich komme aber nicht weiter weil es ja eigentlich wie oben wieder auf die gleichen x-werte komme wegen der pq Formel. D

Das ist richtig, aber wegen  x² - 5x -1  <  0  (kleiner 0!)   müssten die Werte der Lösungsmenge L₂ diesmal zwischen  x₁ und x₂ liegen. 

Dort gibt es aber wegen der zusätzlichen Fallbedingung  x < -2/5 ( = -0,4 )   keine →  L₂ = { }

Answer 2

(x^2 + 1) / (5x + 2) > (5x + 2)/(5x + 2)  , x≠-2/5       | - (5x + 2)/(5x+2)

( x^2 + 1 - 5x - 2)/(5x + 2) > 0

( x^2 - 5x - 1)/(5x + 2) > 0

Nun bestimmst du die Nullstellen des Zählers und skizzierst die Kurve. Dann weisst du, in welchem Bereich der Bruch links oberhalb der x-Achse verläuft. 

~plot~ ( x^2 - 5x - 1)/(5x + 2); x = -2/5 ~plot~

Comments

Meine gleichung lautet:( x^2 + 1 )/( 5x + 2) > 1 , x≠-2/5

(x^2 +1 ) / (5x +2) > 1 | * 5x +2

(x^2 + 1 )> 5x +2  | -5x - 2

x² - 5x -1 > 0

p-q Formel anwenden

x1= 5,19

X2= -0,19

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du weisst bereits, dass der Graph des Bruchterms links von ">" bei

x1= 5,19

und

X2= -0,19

die x-Achse überquert. (Du hast aber wohl zu stark gerundet, wenn es Mathe sein soll).

Ausserdem ist x = -2/5 ein einfacher Pol (ebenfalls Vorzeichenwechsel.

Mehr ist nicht nötig, um zu schreiben.

L = ( -2/5, - 0.19) ∪ ( 5.19 , ∞ )   [ Vereinigung 2er offener Intervalle! ] 

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X darf nicht -2,5 sein warum gehört es mit im Intervall, ist der Intervall offen weil x vielleicht auch -3 sein kann aber man das hier nicht weißt?

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Muss man nicht mit Fällen arbeiten???

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"offenes Intervall" heisst, dass der Randpunkt nicht zum Intervall gehört.

Wenn der Randpunkt zum Intervall gehört, verwendet man eckige Klammern.

" weil x vielleicht auch -3 sein kann aber man das hier nicht weißt? "

Schau mal auf den Graphen. Verläuft er denn bei x= -3 oberhalb der x-Achse?

Habt ihr Intervalle noch nicht kennengelernt?

Schreibe dann

L = { x ∈ ℝ | -2/5 < x < - 0.19 oder x >  5.19 } 

Wie gesagt solltest du bei deinen beiden Nullstellen mehr Stellen angeben. 

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"Muss man nicht mit Fällen arbeiten??? "

Du musst nur mit "Fällen" arbeiten, wenn du durch einen Term dividierst, der x enthält oder, wenn du mit einem Term multiplizierst, der x enthält. 

Solange man nur addiert und subtrahiert, muss man das Ungleichheitszeichen nicht drehen. 

Es gibt auch die sogenannte " Punktprobe" (google mal nach diesem Stichwort) . Da braucht man auch keine Fälle zu unterscheiden. Man braucht die Nullstellen und die Pole von Bruchtermen. 

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Also

x1= 5/2 + (√29/4)≈5,193

x2 ≈ -0,193

Doch das mit den Intervallen haben wir gerade neu besprochen da habe ich das mit dem halboffenes nichht ganz verstanden.

L = ] -2/5; -0,193 [ U  5.19 , ∞ [

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Das waren die lösungsmengen der ℝ L = ] -2/5; -0,193 [ U  5.19 , ∞ [

Bei den ℕ ist es doch [0 ; ∞[

Und jetzt ℤ : ] 0; ∞[

Stimmt das?

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Das war die Lösungsmenge in ℝ 

L = ] -2/5; -0,193 [ U  ] 5.19 , ∞ [   . Das ist eine andere Schreibweise für:

L = ( -2/5, - 0.19) ∪ ( 5.19 , ∞ )            

Bei den ℕ ist es doch [0 ; ∞[    Das ist so nicht üblich

N = { 1,2,3,4,....} oder N = {0,1,2,3,....} je nach Lehrbuch heisst das Zweite N_(0)

Und jetzt ℤ : ] 0; ∞[  Das kann eigentlich nicht sein. Die Menge der ganzen Zahlen enthält nach neg. Zahlen und die Zahl 0. 

https://www.matheretter.de/wiki/irrationale-zahlen zeigt dir eine Übersicht über die verschiedenen Zahlenmengen. 

 

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Ich weiß es ja aber ich muss es ja extra auf diese gleichung beziehen und z.b. -0,193 gehört nicht zu den ganzen zahlen. Bei dieser gleichung Weissagung ich ja nicht was die letzte Zahl ist deswegen  dachte ich ich darf unendlich schreiben.

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Ach so. Intervalle solltest du nur verwenden, wenn du L bezüglich R angibst. 

in R

L = ] -2/5; -0,193 [ U  ] 5.19 , ∞ [   . 

in Z

L = { 6, 7, 8, ....  } 

in N

L = { 6, 7, 8, .... }   

Geschweifte Klammern verwenden! 

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Danke Lu, genau das habe ich gemeint!