Bestimmen des KontraktionsiIntervall

Question

Ich habe einige schwierigkeiten bei der endgültigen Bestimmung des Kontraktionsintervalls,

f(x)=-(x-1)^3-0,5*(x-1)^2+1

die erste Ableitung umgeformt und vereinfacht

f´(x)=x^2-5/3x+2/3

Für die Bestimmung des Intervall der Kontraktion     /f´(x)/ < 1 setzen

Jetzt erhalte ich zwei Gleichungen bzw. muss eine Fallunterscheidung vornehmen:

1Fall:  x^2-5/3x+2/3 < 1     und       2Fall:     -(x^2-5/3x+2/3) < 1

             x^2-5/3x -1/3 < 0                                    x^2-5/3x+1/3 > 0

1 Fall x1=1,84 und x2=0,180          2Fall x1=1,41 und x2=0,232

Es ergeben sich zwei mögliche Intervalle, doch welches muss man hier verwenden und wieso???

Intervall 1 ]0,18;1,84[                                                       Intervall 2 ]0,232;141[

Ich wäre dankbar für einen Tipp!

Answer 1

f(x)=-(x-1)³-0,5*(x-1)²+1 = - x³ + 5/2·x² - 2·x + 3/2

f '(x) = - 3·x² + 5·x - 2

|  - 3·x² + 5·x - 2 | < 1

Nullstellen von  - 3·x² + 5·x - 2

x₁ = 2/3  ;  x₂ = 1   Term positiv zwischen den Nullstellen

1.Fall: x ∈ [ 2/3 ; 1 ]

- 3·x² + 5·x - 2 < 1

 - 3·x² + 5·x - 3 < 0

Nullstellen von  - 3·x² + 5·x - 3   keine →  Term negativ für alle x ∈ ℝ 

L₁ = [ 2/3 ; 1 ]  

2. Fall: x ∈ ] -∞ ; 2/3 [ ∪ ] 1 ; ∞ [

3·x² - 5·x + 2 < 1

3·x² - 5·x + 1 < 0

Nullstellen von 3·x² - 5·x + 1

x₁ = 5/6 - √13/6  ;  x₂ = √13/6 + 5/6  Term negativ  zwischen den Nullstellen

x₁ ≈ 0.2324081207 ;  x₂ ≈ 1.434258545 

L₂ ≈ ] 0,2324 ; 2/3 [ ∪ ] 1 ; 1.4343 [

L ≈ ] 0,2324 ;  1.4343 [  

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hi, die erste Ableitung ist

$$ f'(x) = -(3x^2-5x+2)  $$ Ist jetzt korrigiert Jetzt muss gelten

$$  -1 < 3x^2-5x+2 < 1  $$ Damit hast Du zwei Gleichungen

$$  (1) \quad 3x^2-5x+2 < 1 $$ und

$$  (2) \quad 3x^2-5x+2 > -1 $$

Gleichung (1) hat die Lösungen \( x_{1,2} = \frac{5}{6} \pm \frac{\sqrt{13}}{6} \)

Gleichung (2) hat nur imaginäre Lösungen. Also ist das gesuchte Intervall die Lösungen der Gleichung (1)

Comments

> f(x)=-(x-1)³-0,5*(x-1)²+1          = - x³ + 5/2·x² - 2·x + 3/2

f '(x) = - 3·x² + 5·x - 2

(vgl. meine Antwort)

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−1<3x2−5x+2<1−1<3x2−5x+2<1(2)3x2−5x+2>−1

Gleichung (2) hat nur imaginäre Lösungen. Also ist das gesuchte Intervall die Lösungen der Gleichung (1)

Es ist mir noch nicht recht klar woran ich erkenne, dass es sich hierbei um eine imaginäre Lösung handelt? Und ich diese ausschließen kann. Deinen Ansatz

−1<3x2−5x+2<1 finde ich nachvollziehbar, wäre ich aber nicht drauf gekommen.

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Der Ansatz ist auch falsch, weil die Ableitung falsch ist.

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Wolfgang du hast doch dieselbe ableitung genutzt. Ja beim Kopieren und einfügen ist das Hochzeichen verloren gegangen aber der Ansatz die Ableitung kleiner 1 bzw. größer -1 zu setzen, darauf wäre ich so nicht gekommen.
Aber wie Ullim Gleichung 2 gleich ausschließen kann, ist mir nicht wirklich klar.

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 f '(x) = - 3·x² + 5·x - 2  und nicht  f '(x) = 3·x² - 5·x + 2  [ sind sicher nicht gleich ] 

Ullims Ableitung ist also falsch.

 Aber die Beträge sind gleich . Daher macht sich das im Ergebnis nicht bemerkbar.

|A| < p ∈ ℝ⁺  ⇔  -p < A < p   ist eine übliche Betragsumformung

Die zu (2) gehörige Gleichung hat keine reelle Lösung, deshalb ist - wegen des nach oben geöffneten Parabelterms - die Ungleichung immer wahr und spielt bei der Lösungsmenge Aussageform "(1) und (2)" keine Rolle.