Hallo Anika,
Alles wäre ein Buch.
Man betrachtet - bei "normal üblichen Funktionen" - vor allem folgende Punkte:
1) Definitionsbereich
Wenn dieser nicht angegeben ist, bestimmt man den maximal möglichen Definitionsbereich
Dmax = ℝ \ { x ∈ ℝ | im Funktionsterm wird ein Nenner 0, der Radikand einer Wurzel negativ, das Argument eines Logarithmus ≤ 0 oder das Argument eines Tangensterms = π/2 + k·π (k∈ℤ) ... }
2) Symmetrie
Man prüft, ob die Funktion symmetrisch zum Ursprung oder zur zur y-Achse ist. Voraussetzung dafür ist natürlich ein symmetrischer Definitionsonsbereich ( wenn x eine Lücke ist, muss auch -x eine sein)
f(-x) = f(x) f.a. x ∈ D → Symmetrie zur y-Achse
f(-x) = - f(x) f.a. x ∈ D → Symmetrie zum Ursprung
3) Nullstellen (Vorzeichenverlauf von f)
Gleichung f(x) = 0 lösen
4) Verhalten an den den Randstellen des Definitionsbereichs
z.B. limx→±∞ f(x) , ggf. auch die Asymptotenfunktion, der sich f im Unendlichen nähert.
5) Extremwerte und Monotonie
f '(x) = 0 ergibt die möglichen Extremstellen xE
f "(xE) > 0 → T , f "(xE) < 0 → H
bei f "(x) = 0 kann man prüfen, ob und wie f ' bei xE das Vorzeichen wechselt.
Die Monotonieintervalle erhält man durch die Bedingungen f '(x) ≥ 0 und f "(x) ≤ 0
6) Wendepunkte und Krümmung
f " (x) = 0 ergibt die möglichen Wendestellen xw
f '''(xE) ≠ 0 → W , bei f '''(xE) = 0 kann man den VZW von f " an der Stelle xW prüfen.
Die Krümmungsintervalle erhält man aus den Bedingungen
f "(x) >0 → Links- , f "(x) < 0 → Rechtskrümmung
7) ggf. Verhalten an den Definitionslücken (Grenzwerte)
(z.B. Polstellen bei gebrochen rationalen Funktionen)
8) plausiblen Graph zeichnen
Gruß Wolfgang
