Kurvendiskussion: f (x)=-x^8+14x^4-49; f (x)=-4x^4+8x^2-16; f (x)=(x-2)(x^2-x-2)

Question

Könnt ihr mir bei den oben genannten Funktionen bei der KVD helfen? Nullstellen, WP, Etrema?!?

Mit den drei bin ich auf Kriegsfuß!

Ganz lieben Danke euch allen!

Lieben Gruß Annika

Comments

komme mit drei Kurvendiskussion nicht zurecht, alle anderen sind fertig und verstanden! Mit Nullstellen, WP, Extrempunkt!

Aber bei den dreien komm ich nicht weiter!

---

Dann stell die drei Funktionen mal in getrennten Fragen ein!

(Schreibregeln von Mathelounge unten im grünen Balken)

Und gib vor allem jeweils die Funktion an!

Wäre auch schön, wenn du dich erst einmal zu anderen Antworten abschließend äußerst, bevor du neue Fragen stellst.

z.B.  https://www.mathelounge.de/369699/kvd-3x-3-81-mit-nullstellen-wendepunkt-und-extrema

---

Dann stell die drei Funktionen mal in getrennten Fragen ein!

(Schreibregeln von Mathelounge unten im grünen Balken)

Wäre auch schön, wenn du dich erst einmal zu anderen Antworten abschließend äußerst, bevor du neue Fragen stellst.

z.B.  https://www.mathelounge.de/369699/kvd-3x-3-81-mit-nullstellen-wendepunkt-und-extrema

---

Vergleiche auch bei alten Aufgaben

https://www.mathelounge.de/115268/kurvendiskussion-x-8-14x-4-49

https://www.mathelounge.de/39909/nullstellen-bestimmen-y-x-8-14x-4-49

Answer 1

Kurvendiskussion: f(x) = - x^8 + 14·x^4 - 49

Funktion und Ableitungen

f(x) = - x^8 + 14·x^4 - 49

f'(x) = - 8·x^7 + 56·x^3

f''(x) = - 56·x^6 + 168·x^2

Symmetrie

Achsensymmetrisch zur y-Achse

Verhalten im Unendlichen

lim (x → - ∞) f(x) = - ∞

lim (x → ∞) f(x) = - ∞

y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = - 49

Nullstellen f(x) = 0

- x^8 + 14·x^4 - 49 = 0 --> x = ± 7^{1/4} = ± 1.627 (doppelte Nullstellen)

Extrempunkte f'(x) = 0

- 8·x^7 + 56·x^3 = 8·x^3·(7 - x^4) = 0 (dreifache Nullstelle)

x = 0

7 - x^4 = 0 --> x = ± 7^{1/4} = ± 1.627

f(0) = - 49 --> TP(0 | - 49)

f(7^{1/4}) = 0 --> HP(± 1.627 | 0)

Wendepunkte f''(x) = 0

- 56·x^6 + 168·x^2 = 56·x^2·(3 - x^4) = 0

x = 0 (doppelte Nullstelle) --> Kein WP

3 - x^4 = 0 --> x = 3^{1/4} = ± 1.316

f(3^{1/4}) = - 16 --> WP(± 1.316 | - 16)

Answer 2

y=(x-2)(x^2-x-2)

y '=  3 x^2-6x

y ''= 6x -6

1. Nullstellen:

Satz vom Nullprodukt:

(x-2) =0 ------------>x_1= 2

x^2-x-2 =0  ------->x_2= 2 ; x_3 =-1

x_1,2=2 und x_ 3= -1

2.Extrema :

P_1( 0:4) Maximum

P_2(2; 0) Minimum

3. Wendepunkte:

P_3( 1; 2)

4. Verhalten im Unendlichen: lim (x-----> ± ∞) = ± ∞

5. DB: (- ∞ : ∞)

6. Symmetrie:

keine Symmertrie

Answer 3

Hallo Anika,

f(x) =  - 4·x⁴ + 8·x² - 16

f '(x) = 16·x - 16·x³

f "(x) = 16 - 48·x²

f '''(x) = -96x

Symmetrie:

wegen der geraden Exponenten von x gilt  f(-x) = f(x)  f.a. x∈ℝ

→ Symmetrie zur y-Achse

Nullstellen:

 - 4·x⁴ + 8·x² - 16  = 0 ⇔ - 4·(x⁴ - 2·x² + 4) = 0 ⇔ x⁴ - 2·x² + 4 = 0

Setze z = x² :   z² - 2z + 4 = 0

pq-Formel ergibt  keine reellen Nullstellen 

Extrema:

f '(x) = 0  ⇔ 16·x - 16·x³ ⇔ - 16·x·(x + 1)·(x - 1) = 0 → x₁ = 0 , x_2,3 = ±1

f "(0) = 10 > 0 →  T(0|-16)

f "(±1) = -32 < 0  → H_1,2 ( ± 1 | 12)

Wendepunkte:

f "(x) = 0  ⇔ 16 - 48·x² =  16·(1 - 3·x²) = 0 ⇔ x_1,2 = ±√(1/3) ≈ ± 0,58

da f '"( x_1,2 ) ≠ 0 →  W_1,2(±√(1/3) | -124/9) ≈ (± 0,58 | -13,8)    

Gruß Wolfgang