Aussage wahr oder falsch. Bsp. für f und g nicht stetig bei x0, aber f*g nicht stetig bei x0.

Question

Seien f: ℝ --> ℝ und g: ℝ--> ℝ Funktionen.  Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. 

a) f nicht stetig bei x0 und g nicht stetig bei x0-> f * g nicht stetig bei x0

Ich dachte a ist keine wahre Aussage, da:

Bsp. Funktionen für f und g

f (x)=1/x

g (x)=-1/x

f*g =1/-x^2 gegen 0 laufen lassen-> nicht definierbar

b)f *g nicht stetig bei x0 -> f nicht stetig bei x0 oder g nicht stetig bei x0 

Dankeschön

Answer 1

a) f nicht stetig bei x0 und g nicht stetig bei x0-> f * g nicht stetig bei x0

Ich dachte a ist keine wahre Aussage, da:

Bsp. Funktionen für f und g

f (x)=1/x

g (x)=-1/x

f*g =1/-x² gegen 0 laufen lassen-> nicht definierbar

Falsches Argument, alle sind bei 0 nicht definiert.

Besseres Gegenbeispiel

f(x) =   1 für x ≠ 0

       =   0    für  x = 0

und g(x) =  0 für x ≠ 0

              = 1  für x = 0 

dann ist das Produkt     = 0   für alle x aus IR

, also stetig bei 0.  Als0 a falsch

b)f *g nicht stetig bei x0 -> f nicht stetig bei x0 oder g nicht stetig bei x0

ist wahr, denn  wenn 

f nicht stetig bei x0 oder g nicht stetig bei x0

falsch ist, ist ja sowohl f als auch g stetig bei x0,
also auch  f*g stetig bei x0.

Comments

f(x) =   1 für x ≠ 0

       =   0    für  x = 0 

Soll es heißen dass x nicht 0 ist bei f (x)=1??

Ich habe aber ein Gegenbeispiel für b

f*g = 1/x^2

f (x)=1/x , g (x)=1/x beide nicht stetig

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Deine Funktionen sind überall stetig, nur bei 0 nicht definiert.

Mit meinem Beispiel meinte ich:

Die Funktion ist überall konstant mit Wert 1

nur für x=0 ist der Funktionswert 0,

also  f(x) = 1  für fast alle x,

nur f(0)=0., also kurz:

f(x)     =   1 für x ≠ 0   und

  f(x)  =   0    für  x = 0

Die ist also für alle x definiert, hat aber bei 0 eine Sprungstelle.

Die andere umgekehrt: Überall 0 nur bei x=0 ist der Funktionswert 1.

Das Produkt ist aber die Funktion, die überall den Wert 0
hat, also konstante Funktion und somit überall stetig.

Answer 2

a) Sei f,g: ℝ -> ℝ,  sodass

$$f(x)=0, x< \frac{1}{2} \text{ und } f(x)=1 , x\geq \frac{1}{2}$$

und

$$g(x)=1, x< \frac{1}{2} \text{ und } g(x)=0, x \geq \frac{1}{2}$$

f und g sind unstetig beim Punkt 1/2, f*g aber nicht.

Comments

Warum sind f und g unstetitg? Weil sie 1/2 nicht definieren 

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Samira: Zeichne f und g im Koordinatensystem ein.

Sie enthalten beide eine "Stufe" bei x0=1/2 und sind daher an der Stelle x0 = 1/2 nicht stetig. 

evinda hat dir hier ein Gegegenbeispiel angegeben, das zu Frage passt.