Vielfachheit der Nullstellen im Bruch bestimmen mit Einsetzen der Nullstelle in die Ableitung?

Question

wenn ich einen Bruch habe, und die Ordnung der Polstelle bestimmen möchte, gilt ja Vielfachheit der nst. im nenner - die im Zähler

Wenn ich die im Zähler z.B direkt sehe aber nicht weiß ob sie z.B doppelt oder 3fach ist, hat mein prof gesagt das ich den zähler einfach ableiten kann und da wieder die nst einsetzen soll, wenn das ergebnis wieder 0 ist dann ists z.B eine doppelte usw.

Meine Frage ist jetzt warum das so ist.

Answer 1

doppelte Nullstelle ist immer auch Nullstelle der Ableitung.

Bei einem Bruch   Z(x) / N(x) ist die Ableitung

(  N(x) * Z' (x)  -  N'(x) * z(x)   )   /   N(x) ^2

Nullstelle des Zählers  heißt ja Z(x)=0  da bleibt bei der Ableitung

im Zähler nur  N(x) * Z ' (x)  und das ist 0

wenn z '(x) = 0

Answer 2

Lass dir mal von einem Plotter

f(x) = (x-1)

g(x) = (x-1)^2

h(x) = (x-1)^3

aufzeichnen. Z.B. hier: https://www.matheretter.de/rechner/plotlux

~plot~ (1-x); (1-x)^2; (1-x)^3 ~plot~

Dann überlege dir, wie es um die Steigung und Krümmung der Graphen an der Stelle x=1 steht.

Answer 3

sei p(x) ein Polynom mit n-facher Nullstelle x0.

Dann lässt es sich schreiben als p(x)=(x-x0)^n*g(x)

,wobei x0 keine Nullstelle von g(x) ist.

Ableiten mit Produktregel

p'(x)=n*(x-x0)^{n-1}*g(x)+(x-x0)^n*g'(x)

Setze x=x0, die Ableitung wird null, außer für den Fall n=1