Schaubild linksgekrümmt

Question

Wie begründe ich rechnerisch, dass das Schaubild linksgekrümmt ist.

ich habe bereits die zweite Ableitung f'''(x)= 12x^2-12

Bedingung für linksgekrümmtes Schaubild ist ja f''(x)>0 und kann ja direkt sehen das x>1 sein muss.

Wie kann ich dies aber rechnerisch lösen, falls die Ableitung nicht so einfach ist?

Answer 1

 f ''(x)= 12x²-12 > 0  ⇔  12x² > 12   ⇔  x² > 1 ⇔  |x| > 1

⇔  x >1 oder x < -1

> Wie kann ich dies aber rechnerisch lösen, falls die Ableitung nicht so einfach ist?

Du kannst die Gleichung f "(x) = 0  lösen und dann den Definitionsbereich mit diesen Werten in Intervalle mit gleichem Vorzeichen zerlegen von f " liegen. Letztere bestimmt du dann durch Einsetzen von x-Werten.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

vielen Dank für Deine Antwort.

Bei mir im Buch steht " ist f''(x) > 0, dann ist das Schaubild linksgekrümmt" und andersrum für rechtsgekrümmt. D.h. ich kann x = -1 doch auschliessen und nehme somit nur x > 1 ?

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Wenn man die Krümmungsintervalle hinschreibt, nimmt man die Intervallgrenzen mit, falls diese keine Definitionslücken sind. "Linksgekrümmt" ist dann keine Eigenschaft von f bei einem x-Wert, sondern eine Eigenschaft für das gesamte Intervall.

Bei den Intervallen mit RK gehören die Grenzen dann auch dazu :-)

In der Aufgabe:

LK:  ] - ∞ ; -1 ]  ,  [ 1 ; ∞ [

RK:   [ -1 ; 1 ]

(Es gibt auch Lehrer, die das anders haben wollen, am besten klärst du das ab!)

Answer 2

In einer Linkskurve nimmt die Steigung ständig zu. Also ist die zweite Ableitun dort positiv, d.h.12x²-12 ≥0. demnach x≥1 oder x≤-1. In diesen Bereichen ist die Kurve linksgekrümmt. In diesen Bereichen liegen auch die Tiefpunkte.

Ersetze ≥ und ≤ durch > und <.