Aussagen wahr oder falsch Basis, Vektoren

Question

Sind die folgenden aussagen wahr oder falsch?

1. Sind (v1,v2) und (v2,v3) Basen des ℝ^2 so ist auch (v1,v3) Basis des ℝ^2.

wo ist der unterschied zwischen basen und basis?

2. Ist (v1,v2,v3) ein erzeugendensystem des ℝ^2 so ist entweder (v1,v2) oder (v2,v3) eine basis des ℝ^2.

danke

Comments

(1)  Wähle z.B \(v_3=v_1\).

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Kommt bei 2. das "entweder" auch im Originaltext vor?

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(2)  Wähle z.B. eine beliebige Basis \(\{v_1,v_3\}\) von \(\mathbb R^2\) und für \(v_2\) den Nullvektor.

Answer 1

bei 1. ist für \( v_1 = v_3 \) die Menge \( \{ v_1, v_3 \} \) keine Basis des \( \mathbb{R}^2 \).

Eine Basis und noch eine Basis, das sind zwei Basen.

Bei 2. gilt Folgendes: Für \( v_2 = 0 \) ist weder \( \{v_1, v_2\} \) noch \( \{v_2, v_3\} \) sondern \( \{v_1, v_3\} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^2 \).

Ist \( v_3 \) ein Vielfaches von \( v_1 \), so bilden sowohl \( \{v_1, v_2\} \) als auch \( \{v_2, v_3\} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^2 \).

Mister

Comments

Sei ohne Einschränkung

Erstens ist das eine Einschränkung und zweitens ist der Rest auch falsch.

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Worin besteht die Einschränkung?

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Eine  entweder-oder-Aussage kann auf zwei Arten widerlegt werden :

1. Durch Angabe eines Gegenbeispiels, bei dem beide Alternativen zutreffen
2. durch Angabe eines Gegenbeispiels, bei dem keine der Alternativen zutrifft.

Beide Arten sind hier möglich.

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Wenn die Aufgabenstellung bei 2. ohne das "entweder" lauten würde, so würde Folgendes gelten:

Sei ohne Einschränkung \( \{v_1, v_2\} \) keine Basis des \( \mathbb{R}^2 \). Dann gibt es \( a, b \neq 0 \) mit \( av_1 + bv_2 = 0 \) oder \( v_1 = cv_2 \) für \( c = - \frac{b}{a} \).

Das heißt \( \{v_2, v_3\} \) und \( \{v_1, v_3\} \) erzeugen denselben Vektorraum. Da aber mindestens ein Paar \( \{ v_i, v_j \} \) mit \( i \neq j \) eine Basis des \( \mathbb{R}^2 \) sein muss, sind \( \{v_2, v_3\} \) und \( \{v_1, v_3\} \) Basen des \( \mathbb{R}^2 \).

Insbesondere ist also \( \{v_2, v_3\} \) Basis des \( \mathbb{R}^2 \).

Dies gilt nur für \( v_1, v_2, v_3 \neq 0 \).