Zusammenhang orthogonale Matrix und charakteristisches Polynom

Question

Existiert eine reelle orthogonale Matrix A mit einem charakteristischen Polynom X³-X²+X-1?

Ein charakteristisch Polynom ist gleich der Determinante von der Differenz der Einheitmatrix mal X und der Matrix. Für eine orthogonale Matrix gilt, dass A^t*A=1. Jedoch sehe ich nur sehr umständliche Wege, um an das Ziel zu kommen. Könnt Ihr mir da weiterhelfen?

Answer 1

probier mal

1    0     0;

0    0     1

0    -1    0 

Comments

Hey mathef! vielen dank! doch leider weiß ich nicht, wie du auf die lösung gekommen bist. war das reines ausprobieren?

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Hab erst mal das Polynom zerlegt:

(x-1) * ( x^2 + 1 )

und mir dann gedacht:

Matrix, deren Determinante  denFaktor (x-1)

hat könnte so aussehen

(damit das auch mit dem orthogonalen

leicht hinzukriegen ist)

x-1        0         0

0           ?          ?

0           ?          ?

und der zweite Faktor muss ja dann

die Det. der 4 ? ergeben, also etwa

x          1

-1         x

Das war es dann.

Answer 2

x^3-x^2+x-1=0

λ=1

λ=-i

λ=i

Der Betrag aller Eigenwerte  ist 1.

Folglich existiert eine orthogonale Matrix mit diesem charackteristischen Polynom.

Grund:

||x||=||Ax||=||λx||=|λ|*||x||

--> |λ|=1