Wie berechnet man den Grenzwert gegen unendlich von x*sin(3/x) ?
lim x->unendlich würde doch eigentlich gegen 0 gehen? Warum ist der Grenzwert 3 und nicht 0?
lim x--->∞ x*sin(3/x)
Setze x=1/z
lim x--->∞ x*sin(3/x)=lim z--->0 sin(3z)/z
Taylorentwicklung von sin(3z) an z=0
liefert sin(3z)≈3z
---> lim z--->0 sin(3z)/z=lim z--->0 3z/z=3
kein Taylor, keine Substitution!
f(x) = sin(3/x)*x = sin(3/x) / (1/x)
die erste Form hat 0*unendlich, die zweite 0/0, damit L'Hospital
führt zu 3 cos(3/x)
mit Grenzwert 3
Grüße,
M.B.
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