Grenzwert x*sin(3/x)

Question

Wie berechnet man den Grenzwert gegen unendlich von x*sin(3/x) ?

lim x->unendlich würde doch eigentlich gegen 0 gehen? Warum ist der Grenzwert 3 und nicht 0?

Answer 1

lim x--->∞ x*sin(3/x)

Setze x=1/z

lim x--->∞ x*sin(3/x)=lim z--->0 sin(3z)/z

Taylorentwicklung von sin(3z) an z=0

liefert sin(3z)≈3z

---> lim z--->0 sin(3z)/z=lim z--->0 3z/z=3

Answer 2

kein Taylor, keine Substitution!

f(x) = sin(3/x)*x = sin(3/x) / (1/x)

die erste Form hat 0*unendlich, die zweite 0/0, damit L'Hospital

führt zu 3 cos(3/x)

mit Grenzwert 3

Grüße,

M.B.