komplexe Funktionen differenzieren

Question

Folgendes Beispiel bereitet mir etwas Schwierigkeiten:

Sei f(z) = f(x,y) = u(x,y) +iv(x,y) eine koplex differenzierbare Funktion. Zeigen sie für Realteil u(x,y) gilt

Δu = u_xx + u_yy = 0

Gilt dies auch für den Imaginärteil v(x,y)?

Ich nehme an das ich hier die Cauchy-Riemann'sche Diff.gleichungen brauche aber bin mir nicht ganz im klaren wie ich das anstellen soll!

Answer 1

ich würde das auch mit den Cauchy-Riemann DGL. machen, da diese äquivalent zur komplexen Differenzierbarkeit sind.

sie lauten

du/dx=dv/dy

du/dy=-dv/dx

leite die erste Gleichung nach x und die zweite Gleichung nach y ab

--->  u_xx=v_yx

und u_yy=-v_xy

_{jetzt kannst du den Satz von Schwarz nutzen und erhältst dein Ergebnis.}

_{Für den Imaginärteil gilt dies auch (selbe Rechnung)}

Comments

Tut mir leid das die Antwort so lange auf sich hat warten lassen!

Ich leite also f(z)=f(x+iy)=u(x,y) +iv(x,y) zuerst nach x und dann nach  y ab.

FRAGE: Wie genau hast du das gemacht? Wenn ich u(x,y) nach x ableite bekomme ich doch u'(x,y) oder etwa nicht?

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Ich habe die beiden Riemannschen DGL abgeleitet,

1te Gleichung:

du/dx=dv/dy  | beide Seiten nach x ableiten

d^{2}u/dx^2=d^{2}v/dydx

oder anders geschrieben

 u_xx=v_yx

Das selbe macht man bei der 2ten Gleichung, nur dass man dort nach y ableitet. 

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Ahh das heißt ich habe nachdem ich mit -1 multipliziert habe und dann gleichgesetzt stehe: u_xx = u_yy und das kann ich dann einfach umformen. Für den Imaginärteil geht das dann auch wenn ich die DFG genau in vertauschter Reihenfolge ableite oder?

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Ja jetzt hast du es richtig erkannt