R -> R, x -> x^4 auf Injektivität und Subjektivität untersuchen

Question

Wie genau Untersuche ich IR -> IR, x -> x hoch 4 auf injektivität und surjektivität?vielen  dank im Voraus und bitte mit ausführlicher Erklärung mit den Schritten !LG

Answer 1

Wie genau Untersuche ich IR -> IR, x -> x hoch 4 auf injektivität und surjektivität?

injektiv: Da lautet die Frage: wenn für a und b gilt f(a) = f(b) müssen

dann auch a und b gleich sein.

Hier zu verneinen, denn f(1) = f(-1) aber  1 nicht gleich -1 .

surjektiv:  Ist jedes y aus der Zielmenge IR auch wirklich der

Funktionswert von einem x aus dem Definitionsbereich IR ?

Auch nein, denn z.B. die negativen Zahlen kommen als Funktionswerte

nicht vor.

Comments

Aber wieso kann man bei f(a) = f(b) einfach 2 beliebige werte einsetzten? Ich könnte ja auch einfach 1 und 1 hineinschreiben dann würde es stimmen.

Und widersprechen sich injektiv und subjektiv nicht? wieso kann es dann bijektiv geben?

Danke schonmal !

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Aber wieso kann man bei f(a) = f(b) einfach 2 beliebige werte einsetzten? Ich könnte ja auch einfach 1 und 1 hineinschreiben dann würde es stimmen.

injektiv heißt aber:  Für alle a,b gilt f(a)=f(b) ⇒ a = b .

Wenn du also ein Gegenbeispiel findest, ist es schon nicht injektiv

auch wenn es bei vielen anderen klappt.

Und widersprechen sich injektiv und subjektiv nicht?

Die widersprechen sich nicht und bedeuten auch nicht das gleiche.

f :   IR -> IR^≥0  , x -> x hoch 4

also der Zielbereich nur die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen,

dann wäre es surjektiv

wieso kann es dann bijektiv geben?

Das tritt ein, wenn beides zutrifft.

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In einem anderen Beispiel hast du geschrieben dass 3a=3b injektivität bedeutet. In meinem Beispiel ist x^4 = y^4 was ja eingentlich auch das selbe ist oder?

Oder verstehe ich was grundlegend falsch

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In einem anderen Beispiel hast du geschrieben dass 3a=3b injektivität bedeutet.

nein, ich schrieb:     Für alle a,b gilt f(a)=f(b) ⇒ a = b .

Das wäre dann bei dir  x⁴ = y⁴ ⇒ x = y .

Und diese Folgerung ist eben falsch, wie etwa das Beispiel x=1 und y=-1 zeigt.

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Gibt es ein Beispiel in dem diese Bedingung erfüllt wird ? Zur besseren Anschauung :)

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ja. Probier es mal mit der Funktion f(x) = 2x +4

wenn du dann mit f(a) = f(b) anfängst, hast du

            2a+4 = 2b+4     | -4

Das kannst du umformen

            2a = 2b    | : 2

              a = b

also gilt hier : Für alle a,b gilt f(a)=f(b) ⇒ a = b .