Konvergenz: ∑ (k=1 bis ∞) (k/(2·k + 3))

Question

Hallo ich soll die Reihe auf  Konvergenz untersuchen.

∞
∑ k/(2·k + 3)
k=1

Wie gehe ich da vor? Mit dem Quotientenkriterium? Danke schon mal ;)

Answer 1

Ja. Ich würde das Quotientenkriterium nehmen

ak =  k/(2·k + 3)

ak+1 = (k + 1)/(2·(k + 1) + 3) = (k + 1)/(2·k + 5)

ak+1 / ak = (k + 1)/(2·k + 5)/(k/(2·k + 3)) = (2·k^2 + 5·k + 3)/(2·k^2 + 5·k) ≥ 1

Also ist die Reihe divergent.

Comments

Etwas einfacher wäre das notwendige bzw. Trivialkriterium: Die Folge der Summanden konvergiert nicht gegen Null.

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Ja. Ich würde das Quotientenkriterium nehmen

Ich würde es zumindest nicht als erstes Kriterium nehmen, s.u.

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Ja. Die Glieder können auch mit Polynomdivision geschrieben werden als:

ak = 1/2 - 3/(4·k + 6)

Sie konvergieren daher gegen 1/2. Und daher kann die Reihe nicht konvergieren.

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Anstelle von Polynomdivision kann man auch einfach ein k kürzen und Grenzwertsätze anwenden...

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Hi, gebrochenrationale Folgen mit gleichgradigen Zählern und Nennern sind niemals Nullfolgen. Das Nachrechnen kann man sich meiner Meinung nach sparen, da es nur bestätigt, was ohnehin offensichtlich ist.

Answer 2

Hallo ich soll die Reihe auf  Konvergenz untersuchen.

∞
∑ k/(2·k + 3)
k=1

Wie gehe ich da vor? Mit dem Quotientenkriterium? Danke schon mal ;)

Das Quotientenkriterium ist hier eigentlich zu aufwändig. Man sieht hier doch sofort, dass die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge ist, also kann die Reihe nicht konvergent sein und man ist fertig. Dies würde ich eigentlich immer zuerst überprüfen. Wenn die Reihenglieder keine Nullfolge darstellen, lassen sich immer noch andere Kriterien heranziehen.

Comments

woran erkennt man das? sorry für die doofe frage^^

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woran erkennt man das? sorry für die doofe frage^^

Das ist eigentlich eine gute Frage. Hier kann man dem Reihenglied ansehen, dass es keine Nullfolge beschreiben kann, da es ein rationaler Term ist, dessen Zählergrad (hier 1) größer oder gleich seinem Nennergrad (hier auch 1) ist. Anderenfalls würde der Term eine Nullfolge beschreiben. So einfach ist es natürlich nicht immer.

Ich möchte noch meinen obigen Satz "Wenn die Reihenglieder keine Nullfolge darstellen, lassen sich immer noch andere Kriterien heranziehen." berichtigen und ergänzen:

Wenn die Reihenglieder eine Nullfolge darstellen oder das Gegenteil nicht so einfach nachweisbar ist, lassen sich immer noch andere Kriterien heranziehen.