Betrachte die Differentialgleichung y' = - x/y . Bestimme die Lösungsgesamtheit

Question

Ich habe die Differentialgleichung mit Trennung der Variablen gelöst und bekomme

y = +/- √(C-x^2) . Wie muss ich weiter gehen ?

Comments

Wenn noch ggf. noch den Definitionsbereich  angibst und welche C zulässig sind, bist du fertig.

(Während deiner Rechnung könnten sich ja Einschränkungen für x oder C ergeben haben)

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Wie kann ich die Werte für C bekommen?

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Wenn sich während deiner Rechnung mit "Trennung der Variablen" keine weiteren Einschränkungen für c ergeben haben, gilt wegen √c natürlich c∈ℝ₀⁺.

Sollte √(c-x²)  gemeint sein, wäre D = [ -√c ; √c ]  mit c∈ℝ⁺.

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Ach , Entschuldigung ich habe vergessen,das Foto hochzuladen...

Hier ist die Aufgabe und nach Trennung der Variable bekomme ich

y = +/- √(C-x^{^2} )

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"Wie kann ich die Werte für C bekommen?"

Indem Du endlich Deine Formeln richtig anwendest und Deine Integrale richtig berechnest.

"gilt wegen √c natürlich c∈ℝ₀⁺"

Wenn Du Deine Formeln und Integrale endlich einmal richtig berechnen würdest, dann sähst Du, dass C = x_0^2+y_0^2 sowieso niemals negatiiv werden kann.

***Unnötiger Off-Topic entfernt*** Unknown

Grüße,

M.B.

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Und was muss ich  bei a) zeigen?

kann ich nur sagen dass die funktion ist stetig und nach y differenzierbar , also ist sie Lipschitz-stetig ?

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Hallo ibozadzhiev,

zu (a) müsste ich erst einmal selbst nachschauen.

Aber Du machst mehrere grundsätzliche Fehler:

(1) Es sind Differentialgleichungen, keine Differentialfunktionen. Dgl. lassen sich normalerweise gar nicht nach y auflösen. Man kann stattdessen versuchen, nach x aufzulösen, aber das funktioniert meist ebensowenig, also lass es grundsätzlich sein.

(2) Du rechnet Integrale primitiv nach Unterschichtenmathematik:

$$\int f(x) dx = F(x) + C$$

Das mag in der Schule reichen, hier sicher nicht. Ein Integral ist definiert als

$$\int_{x_0}^x f(t) dt = F(x)-F(x_0)$$

Rechne das so aus, wie es sich gehört, und Du hast auch keine Probleme mit Deinen Konstanten oder gegebenen Anfangsbedingungen.

(3) Du ignorierst sämtliche Nebenbedingungen. Speziell bei Dgl. mit trennbaren Variablen gilt die Gleichung

$$\int_{y_0}^y {1 \over h(v)} dv = \dots$$

Diese Gleichung ist nur erlaubt für \(h(v) \neq 0\). Also musst Du den Fall \(h(v) = 0\) gesondert betrachten, was Du auch nie tust.

(4) Etc, etc, etc.

Grüße,

M.B.

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Ich habe das von einer Musterlösung der Aufgabe so gesehen,dass das Integral als unbestimmes berechnet wurde.

Answer 1

$$y'=-\frac{x}{y} \Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y} \Leftrightarrow y dy=-xdx $$

Wir integrieren und haben folgendes:

$$\frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+c \Rightarrow y^2=-x^2+ C \Rightarrow y= \pm \sqrt{C-x^2}$$

Es muss gelten dass

$$C-x^2 \geq 0 \Rightarrow C \geq x^2 \Rightarrow x \in [-\sqrt{C}, \sqrt{C}]$$

Answer 2

Dein Ansatz heißt immer noch (genau wie beim letzten Mal):

$$y' = g(x)h(y)$$

$$\int_{y_0}^y {1\over h(v)} dv = \int_{x_0}^x g(u) du$$

Du bekommst dann als Lösung:

$$y^2 = -x^2+C_0$$

$$C_0 = y_0^2+x_0^2$$

Außerdem hast Du Deine konstanten Lösungen (genau wie beim letzten Mal) nicht berücksichtigt.

Das Ganze nach y aufzulösen, ist bei Differenzialgleichungen meist totale ****. Lass das so stehen. Ansonsten solltest Du erkennen, dass die Lösungsmenge dieser Dgl. nichts anderes als konzentrische Ursprungskreise sind.

Grüße,

M.B.

Comments

Du erzaehlst auch viel ***. Konstante Lösungen gibt es keine. Lösungen einer DGl \(y'=f(x,y)\) sind Funktionen \(y=y(x)\). Natuerlich ist deshalb am Ende nach \(y\) aufzuloesen. Die ganzen Kreise sind nur dann Lösungskurven, wenn man die DGl in symmetrischer Form \(x\,dx+y\,dy=0\) schreibt. Das ist aber natuerlich Unterschichten-Mathematik ...

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Hallo Fakename,

"Konstante Lösungen gibt es keine".

Konstante Lösungen gibt es hier tatsächlich keine. Das hast Du aber zu beweisen und nicht einfach zu behaupten. Der Ansatz fehlt hier, die Rechnung fehlt hier.

"Loesungen einer DGL sind Funktionen y = y(x)"

Lösungen einer Dgl. sind Funktionen, genau genommen Funktionenscharen. Die kann man nach y auflösen, oder nach x, oder man lässt sie implizit stehen, was fast immer sinnvoll, in vielen Fällen der Mathematik sogar zwingend ist, sonst könntest Du niemals Quadriken untersuchen oder Hauptachsentransformationen durchführen.

"Natuerlich ist deshalb am Ende nach y aufzuloesen."

Natürlich muss man das nicht und natürlich soll man das auch nicht immer, und vor allem: Natürlich geht das überhaupt nicht bei fast allen Dgl., die etwas höher als Kindergartenniveau haben..

Grüße,

M.B.

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In jedem Buch ueber Dgln steht so ungefaehr auf Seite 1: Eine Lösung der Dgl \(F(x,y,y')=0\) ist eine Funktion \(y=y(x)\) mit \(F(x,y(x),y'(x))\equiv0\). Basta.

Ob man eine Darstellung \(y=y(x)\) mit elementaren Funktionen etwa nach einer Variablentrennung praktisch hinbekommt, ist ein anderes Thema.

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Hallo Fakename,

dann kannst Du mir auch sicher die Lösung der Dgl.
\((x^2-y) dx + (y^2-x) dy = 0\)
geben.

Die ist noch recht einfach zu lösen.

Grüße,
M.B.

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Auf Dgln in symmetrischer Form habe ich bereits hingewiesen. Eine solche liegt in der Aufgabe nicht vor. Es werden sogar explizit nur positive Lösungen erfragt.

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ach so, Dir gefallen symmetrische Dgl. nicht!? Wie wäre es mit folgender:

$$(\cos y+y\cos x) dx + (\sin x-x\sin y) dy = 0$$

(Oh, welch ein Drama, da sind jetzt Winkelfunktionen drinnen.)

Grüße,

M.B.

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Deine Ausfuehrungen sind off-topic. Und der Fragesteller (falls er ueberhaupt noch mitliest) sollte sie zu seinem eigenen Besten zusammen mit Deiner Antwort ignorieren.