Gleichung nach n umformen. R_(n) = r* (q^n - 1)/(q-1)

Question

Hallo

Wie löst man das nach n um?

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Hallo

Kann jemand mir diese Fomel herleiten:

Also wie man darauf kommt...

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Fragen bitte nicht doppelt stellen.

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Das sind doch aber eigentlich zwei verschiedene Fragen...

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Dann versuche diese "neue" Frage nochmals gemäss https://www.mathelounge.de/schreibregeln zu formulieren.

Was meinst du mit herleiten? Was bedeuten denn die Abkürzungen ... Das solltest du angeben. Auch, was du kennst und verwenden darfst.

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Fragen zu ein und derselben Formel bitte nur einmal stellen.

Gilt auch für andere Fragen. Hab ich mehrere Fragen zu einer Funktion die zusammen gehören dann auch dort nicht die Fragen auseinanderreißen.

Nur Fragen die nichts miteinander zu tun haben einzeln stellen.

Answer 1

Rn = r * (q^n - 1) / (q - 1)

r * (q^n - 1) / (q - 1) = Rn

r * (q^n - 1) = Rn * (q - 1)

q^n - 1 = Rn * (q - 1) / r

q^n = Rn * (q - 1) / r + 1

n = ln(Rn * (q - 1) / r + 1) / ln(q)

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Das +1 fehlt glaube ich

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mathef hat das wohl in der eine übersehen. macht aber nichts. Es ist gut wenn die Antwortenden hier Fehler machen. Dann seid ihr gefordert aufzupassen.

Immerhin hast du erkannt das es fehlte und kannst es bei dir dazu schreiben.

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Gilt hier diese Regel:
ln(qⁿ)=n*q
?

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ln(qⁿ) = n * ln(q) 

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Wolfgang hat es korrekt geschrieben. Herleitung kann ich hier gleich machen.

Nachschüssige Rente über n Zahlungen

Rn = r + r * q + r * q^2 + r * q^3 + ... + r * q^{n - 1}

Rn = r * q^0 + r * q^1 + r * q^2 + r * q^3 + ... + r * q^{n - 1}

Hier geht es um die Partialsumme der ersten n Folgeglieder einer geometrischen Folge.

Rn = ∑ (k = 0 bis n - 1) r * q^k

Das berechnen wir gemäß https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe mit

Rn = ∑ (k = 0 bis n - 1) r * q^k = r * (qⁿ - 1) / (q - 1)

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Ich habe zwei Fragen:
1.) Woher weiß man, dass es sich um eine geometrische Folge handelt?
2.) Wie kommt man auf das dickgedruckte?:
Rn = ∑ (k = 0 bis n - 1) r * q^k = r * (qⁿ - 1) / (q - 1)

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Schau mal die Definition der geometrischen Folge unter https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Folge

"Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist."

Also a(n+1) / a(n) = konstant

Das ist hier erfüllt.

Für das Dickgedruckte schaust du dir die Herleitung für die Partialsummen an

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen

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Hier die Herleitung in einem Song

https://www.youtube.com/watch?v=2TCDiK7GpNM

Da geht es um die geometrische Reihe aber auch um die Partialsumme der ersten Folgeglieder.

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Vielen Dank nochmal für die Hilfe.

Answer 2

Rn * (q-1) / r = qⁿ

ln⁽ Rn * (q-1) / r ) = n * ln(q) 

ln⁽ Rn * (q-1) / r ) /  ln(q)  = n

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Das +1 fehlt glaube ich

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Oh ja, ging leider verloren.

Answer 3

R_n(q-1) = r (q^n-1) |:r

(R_n(q-1))/r =q^n-1 |+1

((R_n(q-1))/r )+1 = q^n |

ln((R_n(q-1))/r) +1)= n*ln(q)

n=ln((R_n(q-1))/r )+1)/ln(q)

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Vielen Dank