Extremwertaufgabe: Rechteck mit Dreieck an Seiten

Question

Ich finde keinen Lösungsansatz und durchblicke das ganze nicht... Ich bitte um eine grobe Erklärung, wie ich das mache :-D Vielleicht auch Ansätze und Zwischenergebnisse, muss aber nicht alles vorgerechnet werden.

Ich danke euch!! :-)

Answer 1

c^2 + c^2 = a^2 --> c = √2/2·a

A = a^2/2 + a·b = 100 --> b = 100/a - a/2

U = 4·(√2/2·a) + 2·b = 4·(√2/2·a) + 2·(100/a - a/2) = a·(2·√2 - 1) + 200/a

U' = - 200/a^2 + 2·√2 - 1 = 0 --> a = 10·√(28·√2 + 14)/7 = 10.45866301

b = 100/(10·√(28·√2 + 14)/7) - (10·√(28·√2 + 14)/7)/2 = 10·√(56·√2 - 70)/7 = 4.332120066

Answer 2

da die beiden Dreiecke gleichschenklig sind, müssen sie zusammen ein Quadrat ergeben.

Fläche Figur = Rechteck + Quadrat: a•b + c²

Weiterhin gilt: 2c²=a²    (Pythagoras)   c²=1/2 a²       c= 1/2 √•(2)•a

F= a•b + 1/2a²   100=a•b + 1/2a²  

                         2 b= 200/a - a

Für den Umfang gilt: U=2b +4c

Answer 3

a)

es gilt a² = c² + c²  →  a = c·√2

U(b,c) = 2b + 4c    

mit Nebenbedingung  A = a*b + c² = 100  ↔ c·√2 * b + c² = 100  ↔ b = √2·(100 - c²)/(2·c)

U(c) = 2·√2·(100 - c²)/(2·c) + 4c

U'(c) = √2·(c²·(2·√2 - 1) - 100) / c² = 0

c = √(200·√2/7 + 100/7)  ≈  7.395  (- entfällt)

U' hat bei x = 7.395 einen Vorzeichenwechsel von - → + also ein lokales Minimum

Damit kannst du  b und a  ausrechnen.   ( b ≈ 4,333  ;  a ≈ 10,458)

Gruß Wolfgang

Comments

Ich kann grad nicht nachvollziehen wieso gilt: a^2=c^2+c^2

Könntest du das bitte erläutern und auch sagen welche Seiten der Figur du wie benannt hast? Danke nochmal :-)

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die beiden kleinen Dreiecke sind rechtwinklig mit der Hypotenuse a und den Kathethen c und c

→  a² = c² + c² nach Pythagoras

Außer U für Umfang und A für Fläche (beides wie üblich) habe ich nichts benannt.

Answer 4

Mathecoach hat offenbar a) beantwortet. Jetzt folgt b) (1) F = ab+c²; 50 = 4c+2b oder (2) b = 25 - 2c. Außerdem gilt (3) c²=a²/2. (2) und (3) in (1) einsetzen. Dann ist F eine Funktion der Breite a. F '(a) = 0  setzen und nach a auflösen. Zweite Ableitung überprüfen (Min- Max). a_Max in in (3) einsetzen, führt zu c; c in (2) einsetzen führt zu b.