Gerschgorin Kreise - Intervall angeben, wieso keinen Kreis?

Question

Die Matrix
\( B=\left(\begin{array}{lll} 8 & 0 & 1 \\ 0 & 7 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{array}\right) \)
ist symmetrisch und reell, somit sind alle Eigenwerte reell und es gibt folgende reelle Intervalle (Gerschgorin Kreise):

\( [7,9]=\bar{S}(8,1) \) zum Diagonalelement \( b_{11} \)
\( [7,7]=\bar{S}(7,0) \) zum Diagonalelement \( b_{22} \)
- \( [4,6]=\bar{S}(5,1) \) zum Diagonalelement \( b_{33} \)

Warum gibt man bei reellen Eigenwerten statt Kreisen Intervalle an?

Wie wäre es, wenn die Eigenwerte nicht reell wären?

Answer 1

schau mal hier

Die Gerschgorin-Kreise geben Zahlenmengen an, innerhalb derer man Eigenwerte findet.

Auf der reellen Zahlengerade  (also in ℝ)  sind das einfach Intervalle.

Die Menge ℂ der komplexen Zahlen stellt man durch die Gaußsche Zahlenebene dar. Dort sind solche Punktmengen eben Kreise.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Betrachten wir nun zu eine Matrix A (mit i Zeilen und j Spalten) die zugehörigen Gerschgorin Kreis K_i

K_i ={z∈ℂ: |z-a_ii| ≤ r_i }            mit r_i = ∑_j=1,i≠j (a_ij).

Wir betrachten also Kreise in der komplexen Zahlenebene.  ( x-Achse = "Realteil von z", y-Achse = "Imaginärteil von z").

Die Gerschgorin Kreise geben also Gebieten an in denen die Eigenwerte von A liegen.

Naja und zusätzliche wissen wir, dass Matrizen, welche symmetrisch und reell sind, immer reelle Eigenwerte haben. Somit ist der Imaginärteil dieser Eigenwerte gleich 0.

Wenn wir jetzt unsere reellen Eigenwerte in der komplexen Zahlenebene anschauen, so macht es nur Sinn, Intervalle anstatt Kreise für die Gebiete unserer Eigenwerte zu betrachten. Da die Eigenwerte sowieso keine Werte außerhalb der reellen Zahlengerade annehmen können.