Umfang sei u.
Eine Seite sei x.
Dann ist die gegenüberliegende Seite ebenfalls x und die zwei anderen Seiten jeweils (u-2x)/2=u/2-x
Flächeninhalt ist also V(x) = x·(u/2-x).
Das ist eine quadratische Funktion mit Nullstellen bei 0 und bei u/2.
Graphen von quadratischen Funktionen sind symmetrisch bezüglich der Geraden vertikal durch den Scheitelpunkt. Also muss der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegen, also bei u/4.
Der Scheitelpunkt ist höchste Punkt, weil die Parabel nach unten geöffnet ist. Also muss x = u/4 sein.
Aufgrund von Eigenschaften von Rechtecken und dem Umfang u müssen dann alle Seiten u/4 lang sein. Also ist es ein Quadrat.
