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Beweisen sie : Unter allen umfangsgleichen Rechtecken besitzt das Quadrat den größten Flächeninhalt .

Beachten Sie , dass beim Höhensatz die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit dem halben Umfang des Rechtecks übereinstimmt.)

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Umfang sei u.

Eine Seite sei x.

Dann ist die gegenüberliegende Seite ebenfalls x und die zwei anderen Seiten jeweils (u-2x)/2=u/2-x

Flächeninhalt ist also V(x) = x·(u/2-x).

Das ist eine quadratische Funktion mit Nullstellen bei 0 und bei u/2.

Graphen von quadratischen Funktionen sind symmetrisch bezüglich der Geraden vertikal durch den Scheitelpunkt. Also muss der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegen, also bei u/4.

Der Scheitelpunkt ist höchste Punkt, weil die Parabel nach unten geöffnet ist. Also muss x = u/4 sein.

Aufgrund von Eigenschaften von Rechtecken und dem Umfang u müssen dann alle Seiten u/4 lang sein. Also ist es ein Quadrat.
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