Hier mal meine Rechnung:
$$ \begin{aligned}h(u) &= \sqrt{u} \cdot \left(\text{e}^u - \frac 1u \right) \\\,\\h'(u) &= \frac { 1 } { 2 \cdot \sqrt{u} } \cdot \left(\text{e}^u - \frac 1u \right) + \sqrt{u} \cdot \left(\text{e}^u + \frac 1 { u^2 } \right) \\\,\\&= \frac { 1 } { 2 \cdot \sqrt{u} } \cdot \text{e}^u - \frac { 1 } { 2 \cdot \sqrt{u} } \cdot \frac 1u + \sqrt{u} \cdot \text{e}^u + \sqrt{u} \cdot \frac 1 { u^2 } \\\,\\ &= \frac { 1 } { 2 \cdot \sqrt{u} } \cdot \text{e}^u - \frac { 1 } { 2 \cdot u \cdot \sqrt{u} } + \sqrt{u} \cdot \text{e}^u + \frac 1 { u \cdot \sqrt{u} } \\\,\\ &= \frac { 1 } { 2 \cdot \sqrt{u} } \cdot \text{e}^u + \sqrt{u} \cdot \text{e}^u + \frac 1 { u \cdot \sqrt{u} } - \frac { 1 } { 2 \cdot u \cdot \sqrt{u} } \\\,\\ &= \left( \frac { 1 } { 2 \cdot \sqrt{u} } + \sqrt{u} \right) \cdot \text{e}^u + \frac { 1 } { 2 \cdot u \cdot \sqrt{u} } \quad(\star)\\\,\\&= \frac { u + 2 \cdot u^2 } { 2 \cdot u \cdot \sqrt{u} } \cdot \text{e}^u + \frac { 1 } { 2 \cdot u \cdot \sqrt{u} } \\\,\\&= \frac { u \cdot \left( 1 + 2 \cdot u \right) \cdot \text{e}^u + 1 } { 2 \cdot u \cdot \sqrt{u} }.\end{aligned} $$Ich habe gemäß Aufgabenstellung zunächst differenziert und dann vereinfacht, obwohl es umgekehrt wesentlich einfacher gewesen wäre. An der mit (*) markierten Stelle hätte ich für gewöhnlich aufgehört, da der Term in meinen Augen dann einfach genug ist. Die letzte Zeile entspricht dem Ergebnis von Grosserlöwe. Sie unterscheidet sich um den Faktor 2 im Nenner von der Musterlösung.
Offenbar scheint es sich bei dieser Aufgabe eher um eine Übung zum Umformen zu handeln und weniger um eine Übung zum Erkunden sinnvoller Rechenwege.
Beim Ableiten habe ich nicht die Potenzregel verwendet, die beteiligten Funktionen sind ja elementar genug.
