Finde abgeschlossenes Intervall und eine Familie von abgeschlossenen Intervallen

Question

Finde ein abgeschlossenes Intervall I' und eine Familie von abgeschlossenen Intervallen $I_1,I_1,.....,I_N$ so dass die folgenden zwei Bedingungen gelten.

$\cup_{i=1}^{N} I_i\subset I'$ und $\sum_{i=1}^{N} V(I_i) > V(I')$

wobei V der Inhalt der Menge ist.

Answer 1

sei $I_i = I'$. Dann ist $I' \supset I' = \cup_i I_i$ und $\sum_i V(I_i) = N V(I') > V(I')$.

Oder sei

$I_0 = [ a , a + 2 \frac{b-a}{N+3} ]$,

$I_{N+1} = [ b - 2 \frac{b-a}{N+3}, b ]$

und $I_i = [a + i \frac{b-a}{N+3}, a + (i+2)\frac{b-a}{N+3} ]$ für $i = 1, \dots, N$.

wobei $I' = [a, b]$ sei. Dann ist

$I' \supset \cup_{i=1}^{N} I_i = [a + \frac{b-a}{N+3}, a + \frac{N+2}{N+3}(b-a) ]$

und

$\sum_{i=1}^{N} V(I_i) = 2N \frac{b-a}{N+3} \geq V(I') = b-a$ für alle $N \geq 3$.

Die Gleichheit gilt bei $N = 3$.

Im Gegenteil zum ersten Beispiel sind die $I_i$ hier paarweise verschieden und ist die Teilmenge eine echte.

Mister

Answer 2

Was wäre mit I_i = [0;1/i ]     und I ' = [ 0 ; 1 ]Die Summe der Längen ist die harmonische Reihe, die ist divergentaber Länge von I ' = 1.

Comments

Aufgrund der besagten Divergenz gibt es für jedes Intervall $I' = [a, b]$ mit der Wahl $I_i = [a, a+\frac{b-a}{i} ]$ ein $N < \infty$, genau genommen $N \geq 2$, sodass

$I' = \cup_{i=1}^{N} I_i$ (gilt bereits für $N = 1$)

und

$\sum_{i=1}^{N} V(I_i) > V(I')$ (gilt für $N \geq 2$).

Die Aussage ist schon ab der zweiten Partialsumme der harmonischen Reihe wahr beziehungsweise gilt sie schon für die zweite Partialsumme der harmonischen Reihe.