Quadratische Funktion - Hochbehälter, der entleert wird

Question

Aufgabe:

Die Höhe des Wasserstandes in einem Hochbehälter, welcher entleert wird, wird durch diese Funktion beschrieben: t=min;h=m

h(t)=1/8t^2 −2t+8

a) Zeichnen Sie den Graphen von h

b) Wann ist der Hochbehälter leer?

c) Wann ist der Behältee zur Hälfte leer bzw. nur noch 1/4 gefüllt?

d) Wie groß ist die Sinkgeschwindigkeit des Wassers im Durchschnitt?

Comments

Da ihr das Thema Parabeln habt, hast du zurecht keine Klammern gesetzt.

EDIT: Der Graph deiner Funktion sieht folgendermassen aus:

~plot~ 1/8x^2 -2x+8; [[-2|20|-2|10]] ~plot~

Damit klar erkenntlich ist, dass nur die 8 unter dem Bruchstrich steht, darfst du z.B. einen Abstand machen oder gar 1/8 einklammern.

h(t)=1/8 t² −2t+8

oder

h(t)=(1/8)t² −2t+8

oder

h(t)=0.125t² −2t+8

und Parabelgleichung neben die Funktionsgleichung schreiben. 

Answer 1

Die Funktionsgleichung h(t)=1/8t² −2t+8 beschreibt einen Leerungsvorgang im Intervall von t = 0 bis  t = 8. Danach geht es wieder aufwärts.

zu b) Die Scheitelform lautet h(t) = 1/8(t-8)^2. dann ist bei t = 8 die Höhe h(8)=0. Nach 8 min ist der Behälter leer.

Zu c) Wenn der Behälter auf jeder Höhe den gleichen Querschnitt hat, dann muss gelten 4 =1/8t² −2t+8 positive Lösung t=8+4√2≈2,343 min.

Zu d) Die Sinkgeschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt anders. v(t)=t/4-2 (die Ableitung).

EDIT(Lu): Nachtrag von Roland aus Kommentar: die Formulierung "Zur Hälfte leer" kann zweierlei heißen. "Die Hälfte des Volumens ist abgeflossen" oder "Die Füllhöhe hat sich halbiert". Wenn die erste Interpretation gilt, müsste man die Form des Behälters genauer kennen. Darüber steht aber nichts im Aufgabentext. 

Comments

Ich hatte meine Antwort korrigiert. Aber ich sehe keine Korrektur.

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Bei b muss ich dann 4=1/8t² −2t+8 einsetzen und nach t auflösen, oder?

Wie kann ich dann die hoch 2 wegbekommen? 

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@Roland: Siehst du deine Korrektur immer noch nicht? Kann sein, dass du die Bearbeitungszeit überschritten hast. Wenn du als Kommentar die korrigierte Version einstellst, kann ich sie bei Gelegenheit in deine Antwort einarbeiten. 

@DieAhnunglose. Du hast dann eine quadratische Gleichung, die du mit einem der dir bekannten Verfahren (z.B. quadr. Ergänzung oder Formel) auflösen kannst. Beim Thema quadratische Funktionen ist vielleicht die Ableitung noch nicht bekannt. Oder? 

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Ich kenne die pq Formel, aber die ist ja eigentlich nur für Nullstellen. Oder nicht? 

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Nein. Mit der pq-Formel löst man quadratische Gleichungen. Man muss sie nur in erst in eine geeignete Form bringen.

4=1/8t² −2t+8      | -4

0 = 1/8 t^2 - 2t + 4     | *8

0 = t^2 - 16t + 32 

Nun bitte erst nachrechnen und dann die pq-Formel.

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Ich habe t1= 13,66 & t2=2,34 raus. Da t1 aus Prinzip nicht das richtige t ist, ist dann der Behälter nach 2,34 Minuten um die Hälfte leer.

Und jetzt das gleiche mit 2= (...)?

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Genau. 

Zur Kontrolle habe ich dein t mal oben noch ergänzt.

t= 2,34 sieht gut aus. 

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Danke, Lu für dein Angebot. Ich hatte ergänzt, dass die Formulierung "Zur Hälfte leer" zweierlei heißen kann: "Die Hälfte des Volumens ist abgeflossen" oder "Die Füllhöhe hat sich halbiert". Wenn die erste Interpretation gilt, müsste man die Form des Behälters genauer kennen. Darüber steht aber nichts im Aufgabentext. Inzwischen ist diese Frage wohl gegenstandslos geworden.

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@Roland: Ja. Wir haben einfach angenommen, dass es um die Füllhöhe geht (und das Gefäss auf jeder Höhe die gleiche Querschnittsfläche hat). Steht ja nichts anderes. D.h. man kann sonst nichts rechnen.