Vollständige Induktion. Summe von ungeraden Zahlen. was passiert hier mit dem k?

Question

ich hab gerade eine Aufgabe entdeckt, die ich auch machen muss. Sie wurde zwar schon gelöst, aber ich verstehe nicht ganz den Lösungsweg.

Ich versteh genau genommen nicht, was mt dem k passiert.

∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) = n²

Induktionsschritt: Wir zeigen das es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

∑ (k = 1 bis n + 1) (2·k - 1) = (n + 1)²

∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) + (2·(n + 1) - 1) = (n + 1)²

n² + 2·n + 1 = (n + 1)²

Answer 1

Welchen schritt verstehst du genau nicht ?

∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) darf ich durch n^2 ersetzen. Wir nehmen ja im Induktionsschritt an, das es für n gilt und zeigen nur noch das es auch für n + 1 gilt.

Answer 2

Warum ist das k weg?

Die Induktionsvoraussetzung wurde verwendet.

EDIT: Frage bitte bei der vorhandenen Antwort nach.

Dieser Beweis ist sicher schon 10 mal vorhanden.

Answer 3

mit dem k passiert gar nichts, das ist die Variable über die summiert wird.

Für den Induktionsschritt betrachtet man den Fall n--->n+1,hier also

∑ (k=1 bis n+1) (2k-1)  hier wird jetzt der letzte Summand rausgezogen, du setzt also k=n+1

=∑ (k=1 bis n) (2k-1)+ 2(n+1)-1  jetzt setzt man die Induktionsvoraussetzung ein, also

∑ (k=1 bis n) (2k-1)=n^2 , das hat man ja vorher vermutet.

--->

∑ (k=1 bis n) (2k-1)+ 2(n+1)-1=n^2+2(n+1)-1=n^2+2n+1=(n+1)^2 

aus n^2 wurde am Ende durch den Induktionsschritt (n+1)^2 . Passt also.