DGL 2. Ordnung mit g(x) = x2*e-x -cos x Partikuläre Lösung finden.

Question

Hi, ich suche für die DGL  y''+y'+y = x² *e^{^-x} -cos(x) die partikuläre Lösung.

Leider habe ich keinen Lösungsansatz dazu gefunden, sprich ich tappe diesbezüglich seid gut einer Stunde im dunkeln. Wie lautet der Lösungsansatz für solch eine Aufgabe und wie kommt man darauf?

M.f.G.

Answer 1

für eine inhomogene lin. Dgl. mit konst. Koeff. bei der die rechte Seite dir Form

$$\dots = e^{ax}(P_1\cos(bx+c)+P_2\sin(bx+c))$$

hat, hast Du eine partikuläre Lösung der Form

$$\overline{y}_p = x^k e^{ax} (Q_1\cos(bx+c)+Q_2\sin(bx+c))$$

mit

$P_1$ ist ein Polynom vom Grad $m$,
$P_2$ ist ein Polynom vom Grad $n$,
$Q_1, Q_2$ sind Polynome vom Grad $\leq\max(m,n)$
$k$ ist die Vielfachheit von $a+b i$ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms
$a,b,c \in \Bbb R$

Für die Polynome $Q_1, Q_2$ gilt:

$\overline y_p$ $n$-mal ableiten, in die Dgl. einsetzen ($e^{ax}$ kürzen);
nach sin und cos zusammenfassen;
Koeffizientenvergleich zwischen $P_1$ und $Q_1$ bzw. $P_2$ und $Q_2$

(Ohne Gewähr, und viel Spaß dabei.)

Grüße,

M.B.

Answer 2

Hallo Toni,

Hier findest du eine Ansatztabelle:

http://www.math.tu-dresden.de/~pfeifer/chemie/m2-ss12/tab-ans.pdf

Gruß Wolfgang

Answer 3

y''+y'+y = x² *e^{^-x} -cos(x)

Ansätze für die part. Lösung ,z.B. hier:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

 

Comments

und danke erstmal für die Antwort (auch den anderen danke für ihre Antworten)!

Ich hätte jetzt Y_p = (Ax² + Bx + C) * D*e^-x - (E * sin (x) + F * cos (x))  wenn ich das alles richtig verstanden habe.

Noch eine Frage nebenbei, wenn ich g(x) = x⁴ als Störfunktion hätte, würde mein Y_P = Ax⁴ + Bx³  + Cx² + Dx + E aussehen?

Gruß

---

y_p=  (Ax² + Bx + C) *e^-x - (E * sin (x) + F * cos (x))  oder auch

y_p=  (Ax² + Bx + C) *e^{-x +} (E * sin (x) + F * cos (x)) möglich (ohne D)

----------------------------------------------------------------------

Noch eine Frage nebenbei, wenn ich g(x) = x⁴ als Störfunktion hätte, würde mein Y_P = Ax⁴ + Bx³  + Cx² + Dx + E aussehen?

------> JA , das stimmt.

---

nein.

Dein Ansatz lautet $x^k\cdot Q$, wobei $Q$ ein Polynom vom Grad 4 ist, und $k$ die Anzahl der Nullstellen des char. Polynoms der homogenen Lösung. Du hast damit $y_p = x^k(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)$.

Grüße,

M.B.

---

Ich habe diese Aufgabe gerechnet :  y''+y'+y = x⁴ und da stimmt

Y_P = Ax⁴ + Bx³  + Cx² + Dx + E

---

nein!

wenn Du vereinfacht $y'' = x^4$ rechnest, heißt das, dass die zweite Ableitung den Grad 4 haben muss, damit muss $y$ mind. den Grad 6 haben.

Ansonsten solltest Du berücksichtigen, dass Du vielleicht eine Lösung hast, aber nicht die Gesamtheit aller Lösungen. Die Anzahl der Fundamentalgleichungen wird durch die Ordnung der Dgl. bestimmt und die Unabhängigkeit derselbigen durch die Wronskideterminante.

Grüße,

M.B.

---

Du benötigst hier keine Wronskideterminante , das ist viel zu kompliziert.

Mein Ansatz führt zum Ziel. Rechne es doch mal aus.

---

immer noch nein!

Du musst den angegeben Ansatz $x^kQ$ machen. Es kann durchaus sein, dass die entgültige Lösung um einige Grade reduziert wird, aber darauf hast Du keine Garantie.

Grüße,

M.B.

---

 stimmt diese Lösung so wie ich sie ausgerechnet habe jetz? 

Und mich würde noch interessieren wie ich eine Probe durchführen kann.

Gruß

---

ich kann leider nicht alles lesen .Die homogene . Lösung sowie der Ansatz für die part. Lösung stimmen.

stimmt diese Lösung so wie ich sie ausgerechnet habe jetz? 

ich habe erhalten:

Und mich würde noch interessieren wie ich eine Probe durchführen kann.

Dieses Ergebnis  2 Mal ableiten und in die Aufgabe einsetzen.

Dann muß die linke Seite = der rechten Seite der Gleichung sein.

---

Das was für y rauskommt haben wir gleich (Hatte noch einen Fehler in der Version die ich hochgeladen habe) der jetzt aber korriegiert ist.

Wenn ich die Ableitungen dann einsetze muss auf der linken Seite wohl x² *e^{^-x} -cos(x) raus kommen, oder?

Gruß

---

                                     

so ist es.