Komplexe Zahlen zwei Behauptung wann Gültig

Question

könnte mir jemand sagen wenn diese Behauptungen gültig sind?

$$ z^2 = |z|^2 $$

und

$$ |z^2|=|z|^2 $$

Answer 1

z² = |z|²   setze einfach   z = a+bi , da bekomme

ich :  Ist nur gleich für b=0 , also wenn z reell ist.

Das andere stimmt wohl immer ( setze auch z=a+bi).

Answer 2

i)

z=a+ib

z^2= a^2+2iab-b^2

|z|^2=a^2+b^2

a^2+b^2= a^2+2iab-b^2

0=b*(ia-b)

b=0,die zweite Klammer wird nicht 0.

ii) |z^2|=|(a+ib)^2|=|a^2-b^2+2abi|=√[(a^2-b^2)^2+4a^2b^2]=√[a^2+b^2]=|z|^2