Beispiel zu Kosten-Preis-Theorie

Question

Ein Unternehmen produziert ein bestimmtes Produkt, dabei fallen gemäß der Kostenfunktion K mit K(x)=0,1x^2+0,1x+2 an. Der Preis-Absatz- Zusammenhang 10p+2,8x=32 festgestellt, x ist die absatzmenge in ME und p der Preis in GE. Bestimme rechnerisch und grafisch:

a.) Gewinn- und Verlustbereich

b.) Maximalen Gewinn. Bei welchen Absatz und welchen Preis wird er erreicht?

c.) Bedeutet maximaler Gewinn auch maximaler Umsatz? Wie groß ist der Umsatz bei maximalen Gewinn? Wie groß ist der Gewinn bei maximalen Erlös?

d.) Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Erlösfunktion?

e.) Bei welchen (Stück-)Preis kann gerade noch kostendeckend produziert werden?

Answer 1

Löse 10p+2,8x=32 nach p auf um den Funktionsterm der funktion p(x) zu bekommen.

Stelle daraus die Erlösfunktion E(x) = x·p(x) auf.

a) Bestimme die Nullstellen der Gewinnfunktion G(x) = E(x) - K(x). Das ist eine quadratische Funktion. Entscheide anhand des Leitkoeffizienten (a.k.a. Streckfaktor), ob sie nach oben oder nach unten geöffnet ist. Daraus kannst du schließen, wann sie oberhalb der x-Achse verläuft (Gewinnbereich) und unterhalb der x-Achse verläuft (Verlustbereich).

b) Bestimme bei welcher Menge der Scheitelpunkt liegt. Parabeln sind symmetrisch zu der Senkrechten durch den Scheitelpunkt, also ist das genau in der Mitte zwischen den zwei Nullstellen der Gwinnfunktion.

c) Im Allgemeinen bedeutet maximaler Gewinn nicht automatisch maximaler Umsatz. Im Einzellfall muss trotzdem geprüft werden, ob es nicht doch der Fall ist. Bestimme dazu den Scheitelpunkt der Erlösfunktion (die ist eine nach unten geöffnete Parabel, maximaler Umsatz tritt also am Scheitelpunkt auf). Die so bestimmte Menge wird in die Gewinnfunktion ingesetzt um den Gewinn bei maximalem umsatz zu ermitteln.

d) Der Erlös ist 0, entweder weil die Produkte verschenkt werden, oder weil sie so teuer sind, dass keiner sie kaufen will.

e) Bestimme den Preis an den Nullstellen der Gewinnfunktion.