Wahrscheinlichkeitsrechnung - Multiple-Choice

Question

Bei einer Multiple Choice Prüfung werden n Fragen gestellt. Zu jeder Frage gibt es k mögliche Antworten, von denen genau eine stimmt. Um positiv zu sein, müssen mindestens 70% der Fragen richtig beantwortet werden. 

Berechne die Wahrscheinlichkeit, diese Prüfung irgendwann zu schaffen, wenn sie bis zu zweimal wiederholt werden kann. 

n= 10 Fragen k= 2 mögliche Antwrten

Wie rechnet man das? Bitte um Erklärung :) 

DANKE LG 

Answer 1

Führt  man das gleiche Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen (Wahrscheinlichkeit für Treffer jeweils p und W. für Niete jeweils 1-p)  n-mal hintereinander aus, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau x Treffer

 P(T=x) =  \(\begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix}\) • p^x • (1-p)^n-x 

( auf den meisten TR  ist  \(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\)  =  u [nCr] v , "von Hand"  u! / [ v! * (u-v)! ] )

Hier:  P(T=x)  =   \(\begin{pmatrix} 10 \\ x \end{pmatrix}\) * (1/2)^x * (1/2)^10-x 

[Dabei muss man natürlich von einem ratenden Prüfling ohne jede Ahnung ausgehen]

Die Wahrscheinlichkeit, die Prüfung bei einem Versuch zu schaffen, beträgt dann

P(T≥7) = P(T=7) + P(T=8) + P(T=9) + P(T=10) = ... ≈ 0,171875  ≈ 17,2 %

→  P(T<7) = 1 - P(T≥7) = 0,82815 , dass man es nicht schafft.

Die Wahrscheinlichkeit, die Prüfung 3-mal nicht zu schaffen beträgt dann 0,82815³

Und die (Gegen-) Wahrscheinlichkeit , es "irgendwann zu schaffen" 

                = 1 - 0,82815³ ≈ 0.4320212  ≈ 43,2 % 

Gruß Wolfgang

Answer 2

P(Prüfung bestehen) = ∑ (x = 7 bis 10) (COMB(10, x)·0.5^10)) = 11/64

Von 3 Prüfungen muss eine bestanden sein.

1 - P(Prüfung nicht bestehen)^3 = 1 - (1- 11/64)^3 = 0.4321

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 43.21% die Prüfung irgendwann zu schaffen.