Inhalt zwischen 2 Graphen und der Y-Achse

Question

liebe Community,

ich hoffe Ihr könnt mir weiter helfen, da ich gerade etwas verzweifelt bin.

Die Aufgabe lautet: Berechnen Sie den Flächeninhalt, die von dem Graphen von f, der Tagente in P(1/f(1)) und der Y-Achse eingeschlossen wird.

Der Graph ist exponentiell: f(x)= 0,5*e^x

^{Die Tangentengleichung habe ich schon bestimmt: y= 0,5x+0,859141
Nun muss ich ja lediglich f(x)=Tangentengleichung setzen und x berechnen. Und genau an dieser Stelle scheitere ich.. Da ich nicht den ln von x berechnen kann:}

^{x+1,71828 = e^x                                            |ln}

<sup>Vielleicht könnt Ihr mir weiterhelfen.


Christian</sup>

Answer 1

Nun muss ich ja lediglich f(x)=Tangentengleichung setzen und x berechnen.

Das wäre nicht nötig. Du kennst doch den Berührpunkt als gemeinsamen Punkt. Aber deine Tangentengleichung ist falsch.

Comments

In wiefern ist sie falsch?

Also wie ist die richtige?

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Die richtige Tangentengleichung lautet y =e/2·x.

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Okay ich versuche meine Fehler zu finden:

P(1/1,35914)

f(x)= 0,5*e^x
f'(x)= 0,5*e^x

f'(1)= 1,35914 =m

Ist mein Vorgehen/ bzw. die Ableitung soweit richtig?

Answer 2

Die Tangente und der Graph schneiden sich in dem Berührpunkt 

P(1/f(1)) . Den kennt man ja schon.

Du brauchst also nur das Integral von 0 bis 1 überf(x) - t(x)  auszurechen, und das Ergebnis ist die gesuchte

Flächenmaßzahl.

Comments

Das sieht so aus :

~plot~ 0,5*exp(x); 1,3591*x ~plot~

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Das stimmt unter der Voraussetzung, dass die Tangentengleichung richtig ermittelt wurde (ist aber nicht der Fall)

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t(x) steht dabei für die Tangentengleichung, oder?

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Grade erst gesehen (beim aktualisieren).

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Das ist die richtige Tangentengleichung, wenn e/2= 1,3591.

Answer 3

f(x) = 0,5 * e^x = f '(x)  ,  Berührpunkt B(1|f(1)) = (1 | 0,5*e)

Tangentengleichung:  t(x) = f '(x_B) * (x - x_B) + y_B  = 0,5e * (x - 1) + 0,5e  = 0,5e *x 

Gesuchte Fläche = ₀∫¹ (f(x) - t(x)) dx =  ₀∫¹ (0,5 * e^x - 0,5e * x ) dx

= [ 0,5 * e^x - 0,25e * x² ]₀¹ = ....  =  e/4 - 1/2   ≈ 0.1796  [FE]

[ wenn man es nicht so extrem genau haben will, kann man natürlich für 0,5e überall gleich ≈ 1,359 einsetzen ]

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Wenn man nicht wüsste, wie der Graph der e-Funktion mit der Tangente aussieht, müsste man allerdings tatsächlich mit der Gleichung f(x) = t(x) nach weiteren Schnittstellen suchen. Diese Gleichung könntest du aber wohl nicht lösen.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe.
Durch Roland habe ich mich nochmals selber an die Aufgabe gesetzt und soweit ich es in Erinnerung habe, bin ich auch auf 0,179 gekommen.