Zeigen Sie, analog zur Herleitung mit Achill und der Schildkröte, dass für den Wertebereich gilt ...

Question

Zeigen Sie, analog zur Herleitung mit Achill und der Schildkröte, dass für den Wertebereich: -1 < x < 1, gilt:

\( \sum \limits_{i=1}^{\infty} x^{i}=\frac{1}{1-x} \)

Answer 1

Der Ansatz wäre wie folgt:

an = x¹ + x² + x³ + ... x^n-1 + xⁿ
x*an = x² + x³ + x⁴ + ... + xⁿ + xⁿ⁺¹

1. Gleichung minus 2. Gleichung

an - x*an = x - xⁿ⁺¹
an*(1 - x) = x - xⁿ⁺¹
an = x - xⁿ⁺¹ / (1 - x)

lim _(n→∞) (x - xⁿ⁺¹) / (1 - x) = x / (1 - x)

Schau mal ob du die Aufgabe richtig notiert hast. ich würde hier auf x / (1 - x) kommen.