Verständnisfrage: Warum ist 1+1=0

Question

Man habe die  F₂ Gruppe: F₂ = {0,1}

Eine Additionstabelle mit den Elementen liefert unter Anderem das Ergebnis:

1+1=0

Wie kann das sein?

2 ist offensichtlich falsch, denn 2 ist nicht Teil der Menge.

Aber warum gibt es dafür überhaupt ein Ergebnis? Und warum ist es ausgerechnet 0 und nicht 1?

Warum schreibt man das nicht z.b. wie bei √2 ∉ ℚ ? Also hier: (1+1) ∉  F₂

Muss ich das so hinnehmen oder gibt es eine verständliche Antwort darauf?

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In einer Klassenarbeit schrieb Klaus unter eine Frage

11 + 8 = 7

Die Lehrerin kommentierte das Ergebnis mit richtig und gab die volle Punktzahl.

Doch was war hier passiert? Können weder Schüler noch Lehrerin nicht rechnen?

Die Frage lautete: Tom geht abends um 11 Uhr ins Bett und steht 8 Stunden später auf. Wann steht Tom auf?

Es wird hier mit Uhrzeiten Modulo 12 gerechnet.

11 + 8 = 19

Weil jetzt 19 gar nicht in der Menge liegt muss man 12 abziehen um auf die Antwort 7 zu kommen. Tom steht also um 7 Uhr auf.

Genauso verhält es sich in der Gruppe F2. Nur das hier Modulo 2 gerechnet wird.

1 + 1 = 2 aber 2 ist nicht in der Menge also werden 2 subtrahiert. Also 2 - 2 = 0

0 ist in der Gruppe F2 also die richtige Antwort.

Answer 1

Man habe die  F₂ Gruppe: F₂ = {0,1}

Eine Additionstabelle mit den Elementen liefert unter Anderem das Ergebnis:

1+1=0

Wie kann das sein? 

Wenn die Gruppe bezügl. der Addition definiert ist, dann gibt jede Addition ein Ergebnis, das wieder in der Gruppe liegt. Ausserdem gibt es ein eindeutiges neutrales Element der Addition, die NULL.

Also 1+0 = 1; 0+1 = 1 und 0+0 = 0.

1+1 gibt entweder 0 oder 1. Wenn 1 rauskommt, ist auch 1 ein neutrales Element der Addition (Widerspruch zu Gruppe mit Addition)

Ohne Gewähr! Bitte definierende Eigenschaften einer Gruppe nochmals genau nachschauen. 

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Dankeschön, jetzt habe ich es verstanden :)

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Bitte. Gern geschehen!

Falls ich recht habe,  kannst du vielleicht hier mal noch nachhelfen: https://www.mathelounge.de/384459/verknupfungstafel-erstellen

Answer 2

Sieht die Additionstabelle so aus?

+ I 0  1

0 I 0  1

1 I 1  0 

Dann ist 0 das neutrale Element der Addition. In jeder Zeile und jeder Spalte im Inneren der Tabelle (also im Feld der Ergebnisse) darf und muss jede Zahl genau einmal stehen.

Answer 3

Als Zusatz: Mit 0 bezeichnet man generell das neutrale Element in einer additiv geschriebenen Gruppe, mit 1 das neutrale Element in einer multiplikativ geschriebenen. Damit ist nicht gemeint, dass es sich um die "bekannten" Zahlen 0 und 1 handelt. In diesem Sinne gilt auch \(\mathbb{F}_2\not\subset\mathbb{N}\). Die 0 und die 1 in \(\mathbb{F}_2\) sind andere Objekte als die 0 und die 1 in \(\mathbb{N}\).

Comments

Hallo Fakename,

wenn \( \Bbb F_2 \not\subset \Bbb N \), was ist es dann?

Und wenn 0 und 1 keine Zahlen sind, was dann?

Grüße,

M.B.

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Ich habe nicht behauptet, wovon Du behauptest, ich haette es behauptet. Bei mir steht: "Damit ist nicht gemeint, dass es sich um die "bekannten" Zahlen 0 und 1 handelt." Im Uebrigen ist die Frage, was eine "Zahl" denn nun sei, eine philosophische, also zumindest nicht mein Thema.

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Hallo Fakename,

Du hast die Frage nicht beantwortet:

Wenn \( \Bbb F_2 \not\subset \Bbb N \), was ist es dann?

Und wenn 0 und 1 keine (bekannten) Zahlen sind, was dann?

Und die Frage, was eine "Zahl" ist, ist ganz sicher nicht philosophisch, sondern mathematisch exakt definiert (außerdem versuchst Du nur abzulenken).

Grüße,

M.B.

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Moechtest Du etwa alles, wofuer man \(0\) notiert, mit der \(0\in\mathbb{N}\) identifizieren? Erklaere doch Du, warum die \(0\in\mathbb{F}_2\) mit der \(0\in\mathbb{N}\) identisch sein soll. Was haben die, ausser additiv neutral in ihrer jeweiligen Struktur zu sein, gemein? Doch offensichtlich nichts.

Eine exakte Definition des Begriffes "Zahl" ist mir nicht bekannt. Bitte angeben.

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Vielleicht hilft Wikipedia weiter

https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper#Beispiel:_Der_K.C3.B6rper_mit_2_Elementen

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Hallo Fakename,

Du lenkst schon wieder ab. Gib lieber eine Antwort.

Was ist \( \Bbb F_2 \), wenn es keine Teilmenge von \( \Bbb N \) ist? Ich will auch nicht wissen, was es alles nicht ist. Du stellst eine Behauptung auf, also begründe sie.

Was ist 0, was ist 1? Ich will nicht wissen, wofür das alles stehen kann, sondern wofür es genau hier in diesem Fall steht. Du behauptest, also beweise.

Grüße,

M.B.

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Da wird mit \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) ein Modell für \(\mathbb{F}_2\) konstriert. In dem Modell ist klar: $$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\ni0=\{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}\ne0\in\mathbb{N}.$$ Man braucht aber \(\mathbb{F}_2\) nicht zu konstruieren, man kann \((\mathbb{F}_2, +, \cdot)\) direkt definieren. Dann hat man für \(0\) keine Interpretation, es bezeichnet einfach nur das additiv neutrale Element in \(\mathbb{F}_2\)  −−  und man koennte genauso gut irgendein anderes Symbol dafuer schreiben.

M.B. sagt nun, es handelt sich dann aber um dieselbe \(0\), die man auch aus \(\mathbb{N}\) kennt. Weil eben Zahl und Zahlen sind genau definiert ...

Fuer Gegenargumente ist er nicht empfaenglich; er sagt, ich lenke ab. Dabei behauptet doch er etwas und nicht ich ...

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Ich verstehe dich schon.

Du meinst man hätte auch Stern und Mond nehmen können statt 0 und 1. Und 1 ist nur ein Symbol und hat keine Bedeutung wie 1 als eine Anzahl.