Ich haette eine wahrscheinlich dumme Frage zu einer meiner Hausaufgaben, und zwar:
Sei X eine Menge, V ein Vektorraum ueber einem Koerper K, und F(X, V ) der K-Vektorraum aller Abbildungen von X nach V, mit Addition
(f + g)(x) := f(x) + g(x) ∀x ∈ X∀f, g ∈ F(X, V), und punktweiser skalarer Multiplikation
(λ · f)(x) := λf(x) ∀x ∈ X∀f ∈ F(X, V )∀λ ∈ K.
Seien x ∈ X und v ∈ V , sowie Fx,v := {f ∈ F(X, V ) | f(x) = v}.
(a) Zeigen Sie, dass Fx,v genau dann ein Unterraum ist, wenn v = 0.
(b) Finden Sie einen Unterraum W ⊂ F(X, V ), so dass F(X, V ) = Fx,0 ⊕ W.
Das erste habe ich schon bewiesen, aber ich weiss nicht, wie ich den Teil b anfangen soll. Ich verstehe, dass dieser Unterraum ein Nullelement besitzen muss usw. und dass dieser 'neuer' Unterraum die Eigenschaften F(X,V) = Fx,0 + W dnd Fx,0 ∩ W = {0} erfuellen muss, aber ich weiss nicht, wie man anfaengt, einen solchen Unterraum zu definieren.
Kann jemand mir bitte einen Hinweis geben?
PS: Entschuldigung, dass ich die Stichwoerter nicht richtig gemacht habe - das System erlaubte mich nicht, "linalg" und "vektorraum" zu schreiben!
