Bestimmung einer Zahl die durch 6,7,8 und 9 teilbar ist.

Question

Die Ziffern 8532 sind so umzustellen, dass die neu entstandene Zahl durch 6,7,8 und 9 teilbar ist!

Answer 1

Die gegebenen Ziffern ergeben in jeder Reihenfolge eine durch 9 teilbare Zahl. Sie ist genau dann durch 6 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist. Um die Teilbarkeit durch 8 zu garantieren, muss sie durch 4 teilbar sein, also die letzten beiden Ziffern müssen eine durch 4 teilbare Zahl darstellen. Für die letzten beiden Ziffern kommen nur 28 oder 32 in Frage. Dann bleiben für die ersten beiden Ziffern 53 oder 35. Es bleibt noch unter den 4 Möglichkeiten, die es jetzt noch gibt, diejenige zu bestimmen, die durch 7 teilbar ist. (Lösung 3528)

Comments

Um die Teilbarkeit durch 8 zu garantieren, muss sie durch 4 teilbar sein, also die letzten beiden Ziffern müssen eine durch 4 teilbare Zahl darstellen.

Das ist nicht richtig.

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Kannst du das mal begründen? Ich sehe es nämlich nicht ein.

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Um die Teilbarkeit durch 8 zu garantieren, muss sie durch 8 teilbar sein, also die letzten drei Ziffern müssen eine durch 8 teilbare Zahl darstellen.

Für die letzten beiden Ziffern kommen nur 28 oder 32 in Frage.

Und das ist auch falsch, wie etwa das Beispiel 52 zeigt.

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Ich habe einige wichtige Gedanken nicht niedergeschrieben (ich ergänze sie in rot): Um die Teilbarkeit durch 8 zu garantieren, muss sie mindestens durch 4 teilbar sein, also die letzten beiden Ziffern müssen eine durch 4 teilbare Zahl darstellen. Für die letzten beiden Ziffern kommen nur 28 oder 32 in Frage, weil 852 nicht durch 8 teilbar ist. Die 352 muss in die weitere Überlegung allerdings übernommen werden. Hier liegt meine Argumentation tatsächlich schief.

Answer 2

Die Zahl aus den letzten drei Ziffern muss duch 8 teilbar sein, die gesamt Zahl durch 7. Die Teilbarkeit durch 9 ist ohnehin immer gegeben, zusammen mit der Teilbarkeit durch 8 ist dann auch die Teilbarkeit durch 6 gesichert.

Weiter muss die gesuchte Zahl ein Vielfaches von 7 * 2^3 * 3^2 = 504 sein.

Comments

Soll ich also alle 24 Permutationen der vier Ziffern durch 504 teilen? Bei mir waren es zunächst fälschlicherweise 4 und später (nach deiner Korrektur)  5 Divisionen, die noch durchzuführen waren.

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Nein, man kann ganz ohne Divisionen auskommen.

Die relevanten Vielfachen der 504 lassen sich leicht im Kopf erzeugen und so bekommen wir nach wenigen Schritten bereits die Lösung.

Wir können uns stattdessen auch überlegen, dass die Hunderterziffer der gesuchten Zahl mangels Alternativen 5 sein muss und so nur die "ungeraden" Vielfachen der 504 infrage kommen. Die gesuchten Zahlen haben also die Form

$$1008 \cdot n + 504 \quad\text{mit}\quad n\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right\}. $$Beobachten wir jetzt beim Nachrechnen die Tausender- und die Zehnerstelle, bleibt nur noch

$$1008 \cdot 3 + 504 = 3528 $$als einzige Lösung übrig.

Aber das hatte ich mit Absicht in meiner Antwort nicht erwähnt.

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Kompliment für diese Lösng.