Unendliche Reihen, Potenzreihen: Wieviel Glieder der Reihe muß man mindestens aufsummieren, um

Question

Fragestellung:

Wieviel Glieder der Reihe muß man mindestens aufsummieren, um dem Summenwert s bis auf eine Fehler von ε  > 0 nahezukommen? Man gebe diesen Wert für die Beispiele ε  = 0.0001 und ε  = 0.01 explizit an. Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich.

Versteh das rot Umrandete nicht wirklich, in dem Schritt davor schreibt man doch k=nn weil man noch nicht weiß wie viel man aufsummieren muss oder? Aber wie komme ich bei den roten im Exponent auf m+2.

Wäre wirklich nett, wenn mir das einer erklären könnte

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EDIT: Kannst du mal noch erklären welche Buchstaben unter dem Summenzeichen stehen? kk ? nn?  Das ist eine schöne Schrift aber für mich nicht wirklich lesbar. 

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Diese Reihe war in der Angabe.

Habe leider nur diese Lösungen von meinen Prof. , ist nicht einfach sich da durchzukämpfen... :D

1.Zeile k=1

2.Zeile k=nn      k=nn            m=n

So würde ich das entziffern, oder ich lese die Lösung falsch ab und versteh sie deswegen nicht ..

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Finde ein \(n\) für das \(\vert S-S_n\vert<10^{-2}\) gilt.
Für alle \(k>1\) gelten die Abschätzungen \(\frac1{k^2}\le\frac1{k\cdot(k-1)}=\frac1{k-1}-\frac1k\) und \(\ln(k+1)>1\).
Für \(n>1\) folgt demnach$$\vert S-S_n\vert=\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k^2\cdot\ln k}\le\sum_{k=n+1}^\infty\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=\frac1n.$$Die letzte Summe stellt eine sog. Teleskopsumme dar, deren Wert sich leicht zu \(\frac1n\) berechnet.
Nun soll \(\vert S-S_n\vert<10^{-2}\) gelten, was für \(\frac1n<\frac1{100}\), also \(n>100\) der Fall ist.

Answer 1

$$\text{Soll es vielleicht }\vert s-s_n\vert=\sum_{k=n+1}^\infty\frac{2^{k+1}}{k\cdot 5^{k+1}}\text{ heißen?}$$

Comments

Da hast du wohl Recht dann würde es dann auch Sinn machen warum dann m+2 steht

Und 2mal nn macht ja auch nicht wirklich Sinn , das hab ich sauber falsch gelesen.

Danke fürbdie Hilfe!!!:)

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muss ich überhaupt noch n mit m ersetzen? könnte ich nicht noch schon davor die geom. Reihe bilden?

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Du meinst den rot markierten Teil? Vermutlich soll es k statt m heißen. Diese Umformung (Indexverschiebung) scheint mir aber nicht zwingend notwendig zu sein.

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Ja genau das meinte ich, eben ich könnte ja theoretische den Teil vor dem rot markierten in eine geom. Reihe umwandeln, wenn ich das richtig verstehe.

Ziel ist es ja nur in eine Form x^n zu bringen? die Zahl des Exponent spielt dabei keine Rolle oder?

bei diesem Beispiel müsste halt n bei -2 anfangen.

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Die Summe vor dem rot markierten Teil stellt bereits eine geometrische Reihe dar. Es gilt, deren Wert zu berechnen.$$\sum_{k=n+1}^\infty\left(\frac25\right)^{\!k+1}=\left(\frac25\right)^{\!n+2}\cdot\sum_{k=0}^\infty\left(\frac25\right)^{\!k}=\left(\frac25\right)^{\!n+2}\cdot\frac53.$$

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Ziel ist es quasi dieser Term damit man die geom. Summenformel benutzen kann [k=0] .

Die 5/3 kommen raus wenn man die geom. Summenformel anwendet. Dankeschön dir, hat mir wirklich sehr geholfen so versteh ich das viel besser :)! MERCI

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Bringe ich da nicht einfach mit geteilt durch ln 0,4 es auf die andere Seite aber warum dreht sich das kleiner als Zeichen um?

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Da ln(0,4) < 0 ;)

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Ok, Danke und weil mein n+1=0 ist.

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Da ist ein Fehler in der Lösung , da er k^3 geschrieben hat oder?

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Wenn Antwort und Frage zusammengehören, sehe ich das auch so.

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Ja gehören sicher zusammen, hab extra zweimal geschaut!

Dann passt alles! danke :)

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Gut. Und du hast noch ein Übungsbeispiel, für das du eine eigene Integration durchführen kannst.

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ja da hast du recht :)!

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Falls du noch kurz Zeit hast könntest du ja mal über meine Lösung drüber schauen. Dann für n=6 sicherstellen, dass der Fehler kleiner ist als 10-² soweit ich es verstanden habe?

Berechne S6:  Müsste ich dann einfach in der Angabe n von 1-6 einsetzen und aufsummieren ?

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Ein Minus ist bei der Abschätzung eines Fehlers (Betrags) immer verdächtig. Der kann ja gar nicht negativ sein.

Für n=6 ist 1/(n * ln(n+1)) nicht kleiner als 10^{-2} = 0.01.

Probiere das noch mit n=7, n=8, .. bis es passt.

Und ja: Für S_6 rechnest du die Summe von k=2 bis 6 einfach aus (Taschenrechner) .

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Ok danke, dass du nochmal drüber geschaut hast!

Das mit dem Minus verstehe ich nicht ganz 1:(ln(n+1)) wurde doch nur vor das Integral geschrieben, wie soll das auf einmal minus werden?

Ok für n=30 ist der Fehler dann kleiner.

S_6 aufsummieren dann bei meinen Ergebnis also 1:(n*ln(n+1)   oder bei der Angabe 1/k² * ln(k)

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Du musst bei einem Integral immer erst die obere Grenze und dann die untere Grenze einsetzen.

Wenn du die obere Grenze einsetzt gibt das 0 . Dann folgt ein Minus und dann die untere Grenze. Du kannst auch zwei Minus vor 1/n schreiben.

Also = 1/(n* ln(n+1)) * ( 0 - (-1/n)) = = 1/(n* ln(n+1)) * (1/n))

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Oh ja stimmt da hab ich den Fehler gemacht!

was würde ich nur ohne dich machen ? :D

Wenn du mir jetzt noch sagen könntest  wo ich k2-6 einsetzen muss wäre es perfekt:)

bei der Reihe in der Angabe oder bei meinem Ergebnis?

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Bei der Reihe ?

Du hast ja eine Formel für S_(n) gegeben.

Nun musst du bei dieser Formel n=6 einsetzen und stur die Summe ausrechnen.

Mit dem Ergebnis deiner Umformung kannst du dann nur den Fehler abschätzen, den du machst, wenn du bei n=6 schon aufhörst und nicht unendlich lang weiterrechnest.

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Ok genau das wollte ich wissen war mir da nämlich nicht 100% sicher.

 

Das meinte ich mit Reihe, ist aber wohl eher eine Folge?

Nochmals herzlichsten Dank für deine ausführlichen & schnellen Antworten.

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(S_(n))_(n∈ℕ)   ist eine Reihe (Reihe = Folge von Partialsummen).

Die Summanden selbst bilden auch eine Folge.