Nachweisen, dass sich zwei Parabelscharen genau in einem Punkt schneiden?

Question

 Gegeben sind die Parabelscharen

fa(x) = x² - 2ax + 2a²

ga(x) = ax

Aufgabe: a0 und a1 sind zwei beliebige reelle Zahlen mit a0 ≠ a1.

Zeigen Sie, dass sich die zugehörigen Graphen der Funktionen fa0 und fa1 in genau einem 

Punkt S ( a0 + a1 / a0² + a1² ) schneiden.

Ich habe es mit mehreren (ungleichen) Zahlen für a0 und a1 probiert, doch bekomme grundsätzlich immer 2 Schnittpunkte. Weiss wer warum? 

Answer 1

fa(x) = fb(x)

x^2 - 2·a·x + 2·a^2 = x^2 - 2·b·x + 2·b^2

x^2 - 2·a·x + 2·a^2 - (x^2 - 2·b·x + 2·b^2) = 0

x^2 - 2·a·x + 2·a^2 - (x^2 - 2·b·x + 2·b^2) = 0

2·x·(b - a) + 2·(a^2 - b^2) = 0

2·x·(b - a) = - 2·(a^2 - b^2)

x = - (a^2 - b^2)/(b - a) = a + b

fa(a + b) = (a + b)^2 - 2·a·(a + b) + 2·a^2 = a^2 + b^2

wzbw.

Comments

Vielen Dank :)

Wer lesen kann....

Ich hatte fa(x) = ga(x) gerechnet.

Answer 2

 Für Schnittpunkte muss gelten x² - 2ax + 2a²  = ax und damit  x²- 3ax + 2a²  =  (x-a)(x-2a) = 0. Satz vom Nullprodukt ergibt x=a und x =2a.

Comments

Wo ist da    > a₀  ≠ a₁    . bzw.   > f_ao und f_a1  ?