Nullsetzen. wie geht das? K(x)=0,5x3-3x2+9x+20

Question

Kostenfunktion

K(x)=0,5x³-3x²+9x+20

Gewinnfunktion

G(x)=-0,5x³+3x²+6x-20

Nullsetzen wie geht das?

Answer 1

Für die Kostenfunktion kann man die Nullstelle in der Nähe von -1 nur näherungsweise bestimmen (Näherungsverfahren anwenden) Für die Gewinnfunktion kann man die erste Nullstelle x=2 raten (durch Einsetzen bestätigen) und dann Polynomdivision machen: (-0,5x³+3x²+6x-20):(x-2) = -x²/2-4x-10 und für die anderen beiden Lösungen die quadratische Gleichung -x²/2-4x-10= 0 lösen.

Comments

Die erste Behauptung ist falsch.

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Lieber nn, gerne würde ich dir glauben, aber wenn du dein Geheimnis nicht verraten willst, kann ich das nicht.

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Leider halten sich derartige Behauptungen im Forum hartnäckig.$$\text{Zur Bestimmung der reellen Lösung der Gleichung }0{,}5x^3-3x^2+9x+20=0:$$$$\text{Substituiere }x=\frac u3-\frac6u+2\text{ und erhalte }(u^3+810)^2=661932.$$Ermittle daraus \(u\) und damit die gesuchte Nullstelle.

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Das überzeugt mich noch nicht  vollständig (obwohl es mir neue Einsichten vermittelt, dafür schon mal Dank).

Dein Satz "Ermittle daraus u und damit die gesuchte Nullstelle" kann meiner Meinung nach so nicht stehen bleiben. Zunächst einmal erhält man bei diesem Rechenweg zwei Lösungen für u. Origineller Weise ergeben beide für x das gleiche Ergebnis. Ich habe so meine Zweifel, ob das ein handelsüblicher Taschenrechner bestätigen würde. Aus der Sicht eines Schülers, der meistens ja nur über einen Taschenrechner verfügt, gibt es also zwei Lösungen, was ja falsch ist. Da ist ein ein Näherungsverfahren gar nicht so abwegig, dass man meine (unvorsichtige und von wenig Sachkenntnis zeugende) Antwort mit dem Kommentar "die Behauptung ist falsch" disqualifizieren sollte.

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Für die Kostenfunktion kann man die Nullstelle in der Nähe von -1 nur näherungsweise bestimmen (Näherungsverfahren anwenden)

Eine Kostenfunktion ist sinnvollerweise streng monoton steigend und hat allenfalls für \(x=0\) den Wert \(0\) (wenn keine Fixkosten entstehen) und ist sonst positiv in ihrem ökonomisch sinnvoll gewählten Definitionsbereich. Es ist also nicht sinnvoll, hier nach Nullstellen zu fragen.

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Da du es offenbar immer noch nicht glaubst, hier die exakte Lösung, nachzurechnen ohne Taschenrechner und ohne Näherungsverfahren:$$\qquad x_{\small N}=\small{\frac13}\left(6+\sqrt[3]{54\sqrt{227}-810}-\sqrt[3]{54\sqrt{227}+810}\right).$$In der Tat liefern beide Lösungen für \(u\) identische Lösungen für \(x\). Aus welchem Grund sollte man also annehmen, dass es von letzteren zwei verschiedene geben sollte?
Die Behauptung, man könne die Nullstelle nur näherungsweise bestimmen, ist definitiv falsch.

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Ist es nicht so, dass weder die algebraischen Mittel über die cardanischen Formeln noch die numerischen Mittel über das Newton-Verfahren in aktuellen Lehrplänen für allgemeinbildende Schulen erwähnt werden?

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So ist es. Dafür gibt es GTR, die Nullstellen finden können.