Kurvenschar, Nullstelle, Extrem und Wendepunkt und Symmetrie bestimmen

Question

gegeben ist eine Kurvenschar fk(x) mit fk(x) = (1/6k)x^3 -x^2 + (3/2)kx Wie berechnet man die Nullstellen, Extrem und Wendepunkte und Symmetrie?

Ich weiss dass man x ausklammert und dann die pq Formel benutz, aber wie benutze ich die pq Formel wenn ich noch "k" habe?

Answer 1

fk(x) = 1/(6·k)·x^3 - x^2 + 3/2·k·x

fk'(x) = 1/(2·k)·x^2 - 2·x + 3/2·k

fk'(x) = 1/k·x - 2

Symmetrie

Keine untersuchte Symmetrie

Nullstellen f(x) = 0

1/(6·k)·x^3 - x^2 + 3/2·k·x = 0   | ·(6·k)

x^3 - 6·k·x^2 + 9·k^2·x = x·(x^2 - 6·k·x + 9·k^2) = x·(x - 3·k)^2 = 0

x1 = 0 einfache Nullstelle

x2 = 3·k doppelte Nullstelle

Extrempunkte fk'(x) = 0

1/(2·k)·x^2 - 2·x + 3/2·k = 0   | ·(2·k)

x^2 - 4·k·x + 3·k^2 = (x - k)·(x - 3·k) = 0

x1 = k

x2 = 3·k

f(k) = 2/3·k^2 --> HP(k | 2/3·k^2)

f(3·k) = 0 --> TP(3·k | 0)

Wendepunkte fk''(x) = 0

1/k·x - 2 = 0   | *k

x - 2·k = 0

x = 2·k

f(2·k) = 1/3·k^2 --> WP(2·k | 1/3·k^2)