sämtliche reelle Lösungen für x? | 3x + 2| ≤ | 1 - 2x |

Question

Könnt ihr mir bitte helfen, wie ich diese Aufgabe ( a und b) lösen kann? Wenn es geht mit Lösubgsweg :(

Answer 1

|3x + 2| ≤ |1 - 2x|

(3x + 2)^2 ≤ (1 - 2x)^2

9·x^2 + 12·x + 4 ≤ 4·x^2 - 4·x + 1

5·x^2 + 16·x + 3 ≤ 0

-3 ≤ x ≤ - 1/5

Comments

|1 - |2 - x|| < 3

Wir untersuchen zunächst die Gleichheit

(1 - |2 - x|)^2 = 9

1^2 - 2·|2 - x| + (2 - x)^2 = 9

- 2·|2 - x| = 9 - 1 - (2 - x)^2

- 2·|2 - x| = - x^2 + 4·x + 4

|2 - x| = 0.5·x^2 - 2·x - 2

(2 - x)^2 = (0.5·x^2 - 2·x - 2)^2

x^2 - 4·x + 4 = 0.25·x^4 - 2·x^3 + 2·x^2 + 8·x + 4

0.25·x^4 - 2·x^3 + x^2 + 12·x = 0

x = 6 ∨ x = 4 ∨ x = -2 ∨ x = 0

Prüfe die Wertebereiche und erhalte die Lösung

-2 < x < 6

---

Statt auszumultiplizieren wäre es vielleicht etwas einfacher, die dritte binomische Formel anzuwenden.
(3x + 2)² - (1 - 2x)² ≤ 0
(x + 3)·(5x + 1) ≤ 0.
Dann hat man auch gleich die faktorisierte Darstellung.

---

Sehr gute Anmerkung. Der Fragesteller sollte das unbedingt berücksichtigen.

---

Doofe Frage aber was sagt einem die Faktorisierung aus?

---

Man spart sich dadurch Rechenaufwand. Nullstellen muss man ja eh bestimmen und in der faktorisierten Form kann man die einfach ablesen.