Geben Sie das Bild f(D) der Funktion f(x) = (√(16+x) - 4)/x an.

Question

Hallo ich hab Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe, könnte mir jemand vilt. einen Tipp geben. Danke

Answer 1

Vorweg: f(x) = (√(16+x) - 4)/x  ist gar nicht für alle Zahlen im Bereich R \ { 0) definiert!

Bestimme erst den Definitionsbereich D und überlege dir von dort aus den Bildbereich f(D).

Wegen der Wurzel gilt für D : x≥ -16

Wegen dem Nenner muss man x=0 noch ausschliessen. x = 0 ist übrigens eine vertikale Asymptote an den Graphen von f.

D.h. D = { x Element R | x ≥ -16 und x ≠ 0 }

Nun zum Bildbereich f(D):

x = -16 ==> f(x) = (4-4)/(-16) = 0

x > -16 und kleiner als 0: f(x) negativ, da Zähler pos. und Nenner neg.

Fazit: Bisher: Alle neg. Zahlen und die 0 gehören f(D).

Betrachte nun noch x > 0 und stelle fest, welche pos. Zahlen zu f(D) gehören.

Answer 2

es ist

$$ \frac { \sqrt { 16+x }-4}{ x }= \frac { (\sqrt { 16+x }-4)(\sqrt { 16+x }+4)}{ x((\sqrt { 16+x }+4)) }\\=\frac { x }{ x((\sqrt { 16+x }+4)) }=\frac { 1 }{ \sqrt { 16+x }+4 } $$

Der Definitionsbereich ist wegen der Einschränkungen am Anfang

D={x∈ℝ\{0}:x>=-16}

Die Funktion ist nicht gerade bzw. ungerade.

Die Funktion ist monoton fallend,das globale Maximum liegt bei x=-16,mit f(-16)=1/4.

Die Funktion ist nach unten durch 0 beschränkt,es gilt lim x ---> ∞ f(x)=0.

Die Funktion ist im Definitionsbereich stetig und lässt sich in x=0 stetig fortsetzen mit f(0)=1/8

f(D)={x∈ℝ: 0<x<=1/4}