Du musst nur die 4 Eigenschaften einer Totalord. prüfen:
1. reflexsiv: also für jedes (x;y) aus IN
2 muss gelten
(x;y) ≤ (x;y) also nach der Definition zu prüfen
( x<x ) v ( x=x) ∧ ( y ≤ y )
Da x=x und y ≤ y ist das wahr,
2. Antisymm: Es müsste also gelten
(a;b) ≤ (x;y) und (x;y) ≤ (a;b) ⇒ (a;b) = (x;y)
Dazu wieder die Def. aufschreiben:
(a;b) ≤ (x;y) und (x;y) ≤ (a;b)
⇒ (( a<x ) v ( a=x) ∧ ( b ≤ y ) )
und (( x<a ) v ( x=a) ∧ ( y ≤ b ) )
also insbesondere ( b ≤ y )und ( y ≤ b ) also y=b
und auch (( a<x ) v ( a=x) ) und (( x<a ) v ( x=a))
Da a<x und x<a nicht gleichzeitig gelten können
ist in mindestens einem Teil der "und"-Verbindung das x=a wahr,
also x=a. Und wenn x=a und y=b dann ist (x;y) = (a;b) q.e.d.
transitiv: .....
total .....