Ich nehme hier mal an, dass mit "Worte mit sieben Buchstaben" jede mögliche Kombination von sieben der zwölf Buchstaben in "Suppenteller" gemeint ist, also zum Beispiel "TREUESN" oder "SUENTEE".
a) ist wegen der doppelt vorkommenden Buchstaben sehr schwierig durchzuführen und wenn du ein Oberschüler, Erst- oder Zweitsemestriger bist, ist die Aufgabe falsch gestellt. Das große Problem ist, dass zwei Wörter gleich sind, wenn man zwei gleiche Buchstaben vertauscht (AAL= AAL, die As sind ununterscheidbar). Wenn du die Buchstaben erstmal alle als verschieden annimmst, gibt es \(12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6 = \frac{12!}{5!}=\frac{12!}{(12-7)!}\) Möglichkeiten, weil du beim ersten 12 Möglichkeiten hast, beim zweiten elf, dann zehn, usw, und das siebenmal machst. Also hast du FAST die Fakultät von Zwölf da stehen, nur hast du sieben Faktoren und nicht zwölf wie in der Fakultät von 12. Also müssen die letzten Faktoren 5, 4, 3, 2 und 1 wieder weg. Also durch die Fakultät von 5 dividieren.
Jetzt hast du aber eben das Problem, dass du Algebra können müsstest, um alle Duplikate aus deiner Liste streichen zu können. Das sind sogar ziemlich viele. Es gibt 3.991.680 Kombinationen, aber wegen der gleichen Buchstaben sind nur 320.040 davon unterschiedlich. Also kann man 320.040 Wörter bilden.
Die Antwort, die wahrscheinlich gesucht ist, ist aber eher \(\frac{12!}{5!3!2!2!}=166.320\), was FALSCH ist, weil es sich nicht um eine Vollerhebung handelt. Wenn du das GANZE Wort vertauschen müsstest, also Vertauschungen mit 12 Buchstaben, dann wäre die richtige Antwort \(\frac{12!}{3!2!2!}\). Also wenn \(|X|\) die Anzahl des Buchstabens "X" in deinem Wort ist, und das für jeden Buchstaben, und dein Wort \(n\) Buchstaben lang ist, lautet die Formel:\(\frac{n}{|A|!\cdot|B|!\cdot...\cdot|Z|!}\)
Aber bei nur sieben Buchstaben hast du Fälle, in denen du sechsmal dasselbe Wort aufschreibst und Fälle, in denen du gar keine Duplikate hast (wenn du jeden Buchstaben höchstens einmal benutzt).
Nochmal: FALSCHE, leider wahrscheinlich GESUCHTE Antwort: \(166.320,\) RICHTIGE Antwort: \(320.040.\)
b) ist dann viel leichter, weil kein Buchstabe doppelt vorkommen darf. Also kannst du einfach die Duplikate wegschmeißen und mit 8 unterschiedlichen Buchstaben und 5 " freien Plätzen" rechnen. Das wäre ähnlich wie oben \(\frac{8!}{3!}=6720.\)
