Unabhängigkeit -> Eigenschaften bzgl. Wahrscheinlichkeit

Question

ich quäle mich grade mit zwei (wahrscheinlich simplen) Aufgaben herum und komme grade nicht wirklich weiter.

Hat jemand vielleicht dafür eine Antwort:

Aufgabe 1

Gegeben Sei ( ,P) ein diskreter Whslk.-Raum mit der Eigenschaft, dass alle Ereignisse von sich selbst unabhängig sind. Welche Eigenschaften haben diese Ereignisse hinsichtlich ihrer Wahrscheinlichkeit? Gib ein Beispiel eines solchen Whslk.-Raumes.

Ich habe damit ziemliche Probleme, mir das vorzustellen. Ich hatte da an eine Urne mit Kugeln gedacht, wobei pro Durchgang eine gezogen wird und dann zurückgelegt wird. Es gilt dann aber trotzdem nicht P(A∩B)=P(A)*P(B)

Aufgabe 2

Sei (Ω,P) ein Laplacscher Whslk.-Raum, A1 und A2 Ereignisse mit P(A1)=1/5 und P(A2)=1/3. Zeige dass Ω mind. 15 haben muss.

Bei der 2 hatte ich die Idee, dass ich sagen kann: Die Wahrscheinlichkeit von A1 sind 1/5 haben aber einen anderen Nenner als die Wahrscheinlichkeit von A2(=1/3). Also würde ich beide Wahrscheinlichkeiten auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, d.h. P(A1)=3/15 und P(A2)=5/15. Da beim Laplaschen Wahrslk-Raum alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit hat und man, um die Wahrscheinlichkeit zu bekommen, durch die Anzahl der Omega-Elemente teilen muss, kommt man auf mind. 15 Elemente. Ist das richtig so oder gibt es vielleicht einen eleganteren Weg?

Gruß

Answer 1

> alle Ereignisse von sich selbst unabhängig sind

Also muss P(A∩A) = P(A)·P(A) gelten.

Wegen A∩A = A muss P(A) = P(A)·P(A) sein. Aus dieser Gleichung kann P(A) berechnet werden und aus den Lösungen der Gleichung kann auf den Wahrscheinlichkeitsraum geschlossen werden.

> P(A1)=1/5

Wegen Laplace muss die Anzahl der Elemente von Ω ein Vielfaches von 5 sein.

> P(A2)=1/3

Wegen Laplace muss die Anzahl der Elemente von Ω ein Vielfaches von 3 sein.

Comments

hm, ab wenn P(A)=P(A)*P(A) gelten muss, dann geht das ja nur, wenn P(A)=1 ist oder?

wäre dann ein beispiel: Eine Urne mit 10 Kugeln, alle sind weiß und ich ziehe eine mit Zurücklegen (n mal wiederholen)?

gruß

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> wenn P(A)=P(A)*P(A) gelten muss, dann geht das ja nur, wenn P(A)=1 ist oder?

Nein.

Tipp: P(A)=P(A)*P(A) ist eine quadratische Gleichung.

> Eine Urne mit 10 Kugeln, alle sind weiß und ich ziehe eine ...

Wie groß ist dann die Wahrscheinlickeit, die Kugel zu ziehen, die als erste hineingelegt wurde?

Du sollst einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum angeben. Ein diskreter Wahrscheinlichhkeitsraum besteht aus einer Menge Ω von Ergebnissen und einer Abbildung P: Pot(Ω)→[0,1], die jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

> mit Zurücklegen (n mal wiederholen)

Wozu?

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ok, versuch nummer zwei:

könnte es dann eine Urne mit 10 gleichen Kugeln (weiß) sein.

und z.b. A1="Wir ziehen 10 Kugeln"->P(A1)=P(Omega)=1 oder A2="Wir ziehen keine Kugel"->P(A2)=P(leere Menge)=0

für beide Fälle würde ja gelten P(A1 geschnitten A2)=P(A1)*P(A2)-> unabhängig

oder?

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> könnte es dann eine Urne mit 10 gleichen Kugeln (weiß) sein.

Entscheidend ist nicht, welches Modell du betrachtest (Urne mit irgendeiner Anzahl wie gefärbeter so beschrifteter Kugeln). Solche Modelle dienen dazu, Vorstellungsvermögen aufzubauen.

Entscheidend ist die Angabe einer Ergebnismenge

        Ω = {a₁, a₂, a₃, ...}

und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

        P(a₁) = ...

        P(a₂) = ...

        P(a₃) = ...

        ...

so dass für jede Teilmenge A ⊂ Ω die Gleichung

        P(A) = P(A)·P(A)

gilt. Dass P(A) = 1 für bestimmte A ⊂ Ω gelten darf, hast du ja schon herausgefunden.

> P(leere Menge)=0

Dass P(A) = 0 für bestimmte A ⊂ Ω gelten darf, weil auch dann P(A) = P(A)·P(A) gilt, scheinst du auch bereits herausgefunden zu haben. Weil es sich um eine quadratische Gleichung handelt (d.h. maximal zwei Lösungen) darf es keine Ereignisse geben, die eine andere Wahrscheinlichkeit haben.

> könnte es dann eine Urne mit 10 gleichen Kugeln (weiß) sein.

Ja, natürlich. Zur Beschreibung eines Experiments gehört aber auch, welche Handlung durchgeführt wird und mit welchen Ergebnissen gerechnet (im wörtlichen Sinne) wird. Ungefähr so:

    In einer Urne befindet sich eine weiße Kugel (Situation).

    Es wird eine Kugel gezogen (Handlung).

    Es werden die Ergebnisse "Die gezogene Kugel ist weiß" und "Die gezogene Kugel ist rot" betrachtet (Ergebnisse der Handlung).

Es kann jetzt nicht die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass eine Kugel gezogen wird. Dass eine Kugel gezogen wird, ist die Handlung. Es kann aber die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass die gezogene Kugel rot oder weiß ist, weil dass eine Teilmenge der Ergebnismenge ist.

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super

vielen dank für deine zeit!!