Zeigen sie, dass ~ eine Äquivalenrelation auf Z ist ! x ~ y : =(Ek e Z : x-y =kn).

Question

Sei n e N>0. Für x,y e Z definieren:

 x ~ y : =(Ek e Z : x-y =kn).

1. Zeigen sie, dass ~ eine Äquivalenrelation auf Z ist !

Wir bezeichnen mit Z/nZ die Menge der Äuquivalenzklassen von ~ (also die Menge {[x]~|xeZ}).

2. Zeigen Sie, dass durch [x] + [y] := [x+y] für x,y e Z eine wohldefinierte Verknüpfung auf Z/nZ definiert wird.

Sei die Notation wie oben:

1. Zeigen Sie, dass durch [x] * [y] := [x*y] für x,y e  eine wohldefinierte Verknüpfung auf Z/nZ definiert wird.

2. Zeigen Sie, dass (Z/nZ,+) eine abelsche Gruppe ist.

3. Ist im Allgemeinen (Z/nZ,*) eine Gruppe?

Answer 1

Sei n ∈ IN>0. Für x,y ∈ Z definieren:

 x ~ y : =(∃  k ∈ Z : x-y =kn).


Das heißt in Worten    x ~ y genau dann, wenn  n ein Teiler von x-y ist.



Jetzt die Eigenschaften einer Äquivalenzrel. durchgehen:

reflexiv:   gilt für alle x ∈ Z      x ~ x    ?


Ja,  denn    " n ist ein Teiler von x - x " ist wahr, da 0 jede


ganze Zahl als Teiler hat, bzw  :    Es gibt k ∈ Z   nämlich k=0 


mit   x - x = k*n   denn    0 = 0*n  für jedes n ∈ IN>0.

symmetrisch .   Gehe ähnlich vor:

schreibe hin was    x ~ y  bedeutet und was 


   y   ~ x  bedeutet und zeioge, dass aus dem ersten das 2. folgt.

Ähnlich betransitiv.

Comments

Könntest du uns dafür eine genauere Antwort geben auf jeden aufgabenteil?

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Äquivalenzrel. ist also klar .

wohldefinierte Verknüpfung auf Z/nZ heißt:

1.   für je zwei Klassen aus Z/nZ  ist es definiert.

Das stimmt, weil man bei Angabe einer Klassse in der Form [x]

ja auf jeden Fall ein Element der Klasse  ( einen sog. Vertreter)  kennt,

nämlich das x.

Für die Summe muss man dann die beiden addieren x+y und

hat dann die Klasse, in der x+y ist.

2.   Das Ergebnis darf nicht von der Wahl des Vertreters abhängen.

Tut es nicht, denn  sind x1,x2  und y1, y2  jeweils die Vertreter einer

Klasse dann gilt ja  x1 ~ x2  und  y1 ~ y2   also

(∃  k1 ∈ Z : x1-x2 =k1*n)    und  (∃  k2 ∈ Z : y1-y2 =k2n)

Dann gilt    ( x1 + y1 )   -   ( x2  +   y2 )

                =   ( x1 - x2 )    +   (  y1  -  y2 )

                 =    k1*n          +   k2*n

                =   ( k1+k2) * n   

Also gibt es ein Element aus Z  ( nämlich k1+k2) mit 

  ( x1 + y1 )   -   ( x2  +   y2 )   =    ( k1+k2) * n   

also        ( x1 + y1 )   ~   ( x2  +   y2 )und somit  sind   ( x1 + y1 )   und   ( x2  +   y2 )  in der

gleichen Klasse , also    [ x1 + y1 ]   =   [ x2  +   y2 ]

also die Def. unabh. von der Wahl der Vertreter.