Zufallsexperiment: Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Passwort generiert wird?

Question

Hallo Mathelounge User,

die Aufgabe ist folgende:

Zur Generierung eines Passworts wird das folgende Zufallsexperiment eingesetzt.

1. Ein fairer Würfel wird geworfen.
2. Fallunterscheidung:
     (i) Ist die geworfene Zahl kleiner-gleich 2, dann wird ein Passwort zufällig unter Gleichverteilung aus {a, b, . . . , z} 6 gezogen. Das Ergebnis ist also eine Zeichenkette der Länge 6, die ausschließlich kleine Buchstaben enthält.
     (ii) Ist die geworfene Zahl größer als 2, dann wird ein Passwort zufällig unter Gleichverteilung aus {0, 1, . . . , 9} 10 gezogen. Das Ergebnis ist also eine Zeichenkette der Länge 10, die ausschließlich Ziffern enthält.

Zu klären sind folgende Fragen:
 a) Welche Elementarereignisse enthält der Ereignisraum Ω?
 b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Passwort generiert wird?
 c) Erfüllt das Zufallsexperiment das Laplace Prinzip? Oder anders gefragt: Ist jedes Passwort gleichwahrscheinlich? Falls nein, wie müsste man das Zufallsexperiment anpassen, dass es diese Eigenschaft besitzt?

Mein Vorschlag zu a): Elementarereignisse aus (i) = 26⁶ = 308.915.776 
                                        Elementarereignisse aus (ii) = 10¹⁰ = 10.000.000.000
                                        Zusammen macht das: Ω = 10.308.915.776

Mein Vorschlag zu b): Ich habe keine Ahnung was damit gemeint ist...ein Passwort wird doch bei jedem Wurf generiert und ist damit auch ein bestimmtes Passwort!

Mein Vorschlag zu c): Ich denke nicht, dass jedes Passwort gleichwahrscheinlich ist, da alleine schon bei Augenzahlen von 3,4,5 und 6 ein Passwort von (ii) generiert wird. Dazu müsste 1/2 der Augenzahlen für (i) und (ii) gelten.

Grüße

Answer 1

a) Gefragt  ist, welche Elementarereignsse in Ω enthalten sind, nicht wie viele. Danach erst kannst du dir über die Anzahl Gedanken machen.

b) Gemeint ist folgendes:

1. Wähle ein Passwort.
2. Führe dann das Experiment aus.

    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Experiment das von dir gewählte Passwort liefert?

c)

> Erfüllt das Zufallsexperiment das Laplace Prinzip?

Das kommt im Allgemeinen darauf an, was du als Ω gewählt hast.

> Oder anders gefragt: Ist jedes Passwort gleichwahrscheinlich?

Anscheinend soll Ω die Menge aller Passwörter sein. In Ω soll also nicht unterschieden werden, ob das Passwort abcdef durch das Würfeln einer 1 oder durch das Würfeln einer 2 zustande gekommen ist.

Comments

Ok, nochmal:

a) Ergebnisraum Ω = { {a, b, ..., z}, {0, 1, ..., 9} } (fehlen hier schon die Hochzahlen?)
    Ereignisraum P(Ω) = { { }, {a}, {b}, ..., {a, b, ..., z}, {0}, {1}, ..., {1, 2, ..., 9} }
    |P(Ω)| = 2²⁶ + 2¹⁰ - 1  = 67.109.888    ( -1 da das unmögliche Ereignis sonst doppelt
    gezählt wird)

    Denke der Ereignisraum sollte ausreichen.

b) Pr[kleine Buchstaben Passwort] = (1/3) * (1/26)⁶ = 0,000000001079 (ist das
    überhaupt richtig, so wie das aussieht!?)

    Pr[Ziffern Passwort] = (2/3) * (1/10)¹⁰ = 0,000000000066...

c) Ja, es erfüllt das Laplace-Prinzip, da: 
    Es lässt sich A = "Passwort aus kleinen Buchstaben" und B = "Passwort aus Ziffern"
    ableiten, wodurch man eine Gleichung mit |A| = 308.915.776 und 
    |Ω| = 10.308.915.776 der Form: |A| / |Ω| = 0,02996... erhält. (B äquivalent)
    Für die Passwörter in A und in B gilt: wegen der Gleichverteilung ist jedes Passwort
    gleichwahrscheinlich. Lediglich der Würfel entscheidet mit einer Wahrscheinlichkeit
    von 1/2(A) und  2/3(B), welche Art von Passwort generiert wird. Aber da in der
    Aufgabe ,,falls nein" steht ist das wahrscheinlich falsch!

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Achja, danke für den Denkanstoß :-)

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> Ergebnisraum Ω = { {a, b, ..., z}, {0, 1, ..., 9} }

Dieser Ergebnisraum enthält zwei Elemente, nämlich {a, b, ..., z} und {0, 1, ..., 9}.

Ereignisse sind Teilmengen des Ergebnisraumes. Welche Teilmenge von Ω entspricht dem Ereignis "Das Passwort abcdef wurde generiert."?

Es gibt zwei Möglichkeiten für den Ergebnisraum,

    Ω = {1,2}×{a,b,...,z}⁶ ∪ {3,4,5,6}×{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}¹⁰ und

    Ω = {a,b,...,z}⁶ ∪ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}¹⁰.

Im Lichte von Teilaufgabe c) soll wohl zweiteres gewählt werden, und damit rechne ich auch weiter.

b) ist richtig, unabhängig davon was du als Ω verwendest. Deine Notation stimmt aber nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Passwort aus Kleinbuchstaben generiert wurde, ist 1/3. Bessere Notation:

Die Zufallsgröße X bezeichnet das generierte Passwort, k sei ein Passwort aus 6 Kleinbuchstaben und z ein Passwort aus 10 Ziffern. Dann ist P(X=k) = 1/3 · (1/26)⁶ und P(X=z) = 2/3 · (1/10)¹⁰.

c) Das Laplace-Prinzip ist nicht erfüllt, weil die Passwörter abcdef und 0123456789 zwar beide im Ergebnisraum enthalten sind, aber (wie du in b) berechnet hast) unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben.