2^n -(-1)^n +3 durch 6 teilbar Beweis

Question

2^n -(-1)^n +3

Auf jeden Fall mit Vollständiger Induktion.

Answer 1

Es gilt:

$$ 2^n-(-1)^n+3 = \begin{cases} 2^n+4 & \text{für n ungerade} \cr 2^n+2 & \text{für n gerade} \cr \end{cases} $$

$$n = 1$$

$$6 \mid 2^1+4 = 6 \quad\checkmark$$

$$n = 2$$

$$6 \mid 2^2+2 = 6 \quad\checkmark$$

\( n \to n+2 \) (\(n\) ungerade):

$$ 6 \mid 2^{n+2}+4 = 2^{n+2}+16-12 = 4 \cdot (2^n+4)-12 \quad \checkmark $$\( n \to n+2 \)  (\(n\) gerade):

$$ 6 \mid 2^{n+2}+2 = 2^{n+2}+8-6 = 4 \cdot (2^n+2)-6 \quad \checkmark $$

Comments

2^n + 4 ist aber doch nicht für alle n ungerade ?

Beispiel mit 1: 2+4 = 6..

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\(n\) ist ungerade.

Grüße,

M.B.

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Und wie kommst du auf die +6 und -8  bei deinem Beweis ?

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Hallo

\( +2 = +2+6-6 = +8-6 \)

Der Sinn ist, 4 auklammern zu können, und zwar so, dass 2 übrig bleibt wegen der Voraussetzung der Induktion.

(Etwas addieren und gleich wieder abziehen macht man oft bei Beweisen, siehe z.B. die quadrat. Ergänzung.)

Grüße,

M.B.

Answer 2

$$ 2^n -(-1)^n +3  $$
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n=2
$$ 2^2 -(-1)^2 +3  $$
$$ 4 -1 +3 =6 $$
n=3
$$ 2^3 -(-1)^3 +3  $$
$$ 8 +1 +3  =12 $$
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$$ \left( 2^{n+2} -(-1)^{n+2} +3 \right)-\left( 2^n -(-1)^n +3 \right) =6 k \quad \vert \quad k\in\mathbb{Z}$$
$$  2^{n+2} -(-1)^{n+2} +3 - 2^n +(-1)^n -3  =6 k $$
$$  2^{n+2} -(-1)^{n+2}  - 2^n +(-1)^n   =6 k $$
$$  2^{n+2} -(-1)^{n}\cdot (-1)^2  - 2^n +(-1)^n  =6 k $$
$$  2^{n+2}  - 2^n  -(-1)^{n} +(-1)^n  =6 k $$
$$  2^{n+2}  - 2^n    =6 k $$
$$  2^{n} \cdot 2^2  - 2^n    =6 k $$
$$  2^{n} \cdot (2^2  - 1)    =6 k $$
$$  2^{n} \cdot (3)    =6 k $$
$$  2^{n}    =2 k $$
Fallunterscheidung für gerade n und ungerade n
$$n = 2m \quad \vert \quad  m\in \mathbb{N}$$
$$  2^{(2m)}    =2 k \quad \vert \quad \cdot 2^{-1}$$$$  2^{(2m-1)}    = k $$
Der Exponent muss eine natürliche Zahl sein - die Basis 2 mit einer natürlichen Zahl potenziert ergibt immer eine natürliche Zahl. Der Faktor k ist daher auch immer eine natürliche Zahl. Die Differenz zwischen den Doppelschritten der Folge ist daher immer durch 6 teilbar.
$$n = 2m+1 \quad \vert \quad  m\in \mathbb{N}$$
$$  2^{(2m+1)}    =2 k \quad \vert \quad \cdot 2^{-1}$$
$$  2^{(2m)}    = k $$

Comments

Es ist \( 2^n \) und nicht \( 2n \).

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Wo kommt denn in deinem Schritt die + 6k her ?

Bzw. ist es dann doch noch nicht bewiesen, dass es durch 6 teilbar ist..

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Man darf sicher sein, dass das Produkt einer ganzen Zahl k multipliziert mit 6 duch 6 teilbar sein muss.

Die Annahme des Beweises lautet also:

Das erste Glied ist durch 6 teilbar. Zieht man von einem Folgeglied das vorangehende Element ab und erhält dabei eine durch 6 teilbare Zahl, so ist das Folgeglied auch durch 6 teilbar.

$$a_{n+1} -a_n=6 k$$

Sollte sich nach Umformung der Annahme zeigen, dass k nicht zwingend eine ganze Zahl ist, dann gilt die Annahme nicht. Wenn doch, dann schon.

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Hätte ich das auch machen können indem ich die Zahl n+1 - die Zahl gerechnet hätte ?

Aber geniale Idee die Zahlen zu subtrahieren..