Betrag des Vektors von P(2|3) zu einem beliebigen Punkt auf g: x-2y -4=0

Question

Hi, 

 

folgende Aufgabe:

1.) Der Punkt P (2|3) und die Gerade g mit x - 2y - 4 = 0  sind gegeben.

1.1) Berechne jeweils den Betrag des Vektors PA mit A (x|y) ∈ g für x ∈ {0; 2; 4; 6; 8}.

also da hab ich immer das x ∈ in die geradengleichung eingesetzt und nach y aufgelöst damit ich die Koordinaten für A erhalte. Danach dann den Betrag des Vektors PA ausgerechnet - ist das richtig?

Die anderen Aufgaben verstehe ich nicht :/

1.2) Berechne den Betrag der Vektoreb PA A (x|y) ∈ g mit x ∈ ℝ. [Ergebnis:  | PA | = √1,25x² -9x + 29]

1.3) Ermittle mit Hilfe des Ergebnisses aus 1.2 den Vektor PA mit dem kleinsten Betrag.

9.4) Zeige, dass der Vektor PA* mit A*(3,6|-0,2) aus Aufgabe 1.3 auf der Geraden g senkrecht steht. Begründe geometrisch, dass dieser Vektor den kleinsten Betrag hat.

 

1.5 Führe die Aufgabenteile 1.1 - 1.4 für den Punkt P (4|1) durch (würd ich nochmal gern alleine probieren)

lg und danke svhonmal

Answer 1

1.) Der Punkt P (2|3) und die Gerade g mit x - 2y - 4 = 0  sind gegeben. 

1.1) Berechne jeweils den Betrag des Vektors PA mit A (x|y) ∈ g für x ∈ {0; 2; 4; 6; 8}.

also da hab ich immer das x ∈ in die geradengleichung eingesetzt und nach y aufgelöst damit ich die Koordinaten für A erhalte. Danach dann den Betrag des Vektors PA ausgerechnet - ist das richtig?

Sollte stimmen.

Die anderen Aufgaben verstehe ich nicht :/

1.2) Berechne den Betrag der Vektoreb PA A (x|y) ∈ g mit x ∈ ℝ.

x-2y-4=0

x-4=2y

0.5x - 2 = y.

P(x|0.5x-2)

|PA| =√ ((x-2)^2 + (0.5x - 2 - 3)^2)

=√((x^2 -4x + 4) + (0.5x - 5)^2)

= √(x^2 - 4x + 4 + 0.25x^2 - 5x + 25)

=√(1.25x^2 - 9x + 29)

[Ergebnis:  | PA | = √(1,25x² -9x + 29)]

1.3) Ermittle mit Hilfe des Ergebnisses aus 1.2 den Vektor PA mit dem kleinsten Betrag.

Dazu genügt es, wenn der Term unter der Wurzel betrachtet wird. 

y=1.25x^2 - 9x + 29

Du erkennst eine Parabelgleichung und bestimmst den Scheitelpunkt der Parabel. Da sie nach oben geöffnet ist, ist der y-Wert des Scheitelpunktes zu bestimmen. ist der grösser als Null: Wurzel draus = minimaler Betrag. (Sollte er kleiner als 0 sein: minimaler Betrag =0). Nimm den x-WErt des Scheitelpunktes und berechne dazu A wie in Aufgabe 1.1.

9.4) Zeige, dass der Vektor PA* mit A*(3,6|-0,2) aus Aufgabe 1.3 auf der Geraden g senkrecht steht. Begründe geometrisch, dass dieser Vektor den kleinsten Betrag hat.

P(2|3) . PA* = (1.6|-3.2).

x - 2y - 4 = 0: Richtung des Normalenvektors aus der Koordinatengleichung ablesen: (1|-2)

1.6*(1|-2)= (1.6|-3.2): Richtung stimmt! qed.

Geometrische Begründung: Den kürzesten Abstand eines Punktes P von einer Geraden g findet man, indem man von P auf das Lot auf g fällt.

Comments

Ach. Du hast das ja schon so gut beantwortet.

es wäre eventuell gut, wenn man irgendwie sehen könnte das jemand beim Beantworten ist. Dann spart man sich die Arbeit.

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√(x² - 4x + 4 + 0.25x² - 5x + 25) =√(1.75x² - 9x + 29)

Wie kommst du da auf 1.75 ? Ich denke 1.25 passt schon.

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Hatte wohl noch geschlafen… 1.25 jetzt auch bei mir definitiv. Doppelte lange Antworten sind wirklich manchmal ein Ärgernis.

Answer 2

g: x - 2y - 4 = 0 oder y = x/2 - 2

P(2 | 3)

Wenn du selber schon eine Vorarbeit geleitest hast wäre es gut die immer mit anzugeben

Ich gehe mal davon aus das du 1.1 richtig hast

1.2) Berechne den Betrag der Vektoreb PA A (x|y) ∈ g mit x ∈ ℝ.

A(x | y) = A(x | x/2 - 2)

PA = A - P = [x - 2, x/2 - 2 - 3] = [x - 2, x/2 - 5]

|PA| = √((x - 2)^2 + (x/2 - 5)^2) = √(5/4·x^2 - 9·x + 29)

1.3) Ermittle mit Hilfe des Ergebnisses aus 1.2 den Vektor PA mit dem kleinsten Betrag.

Wir suchen also ein Minimum

|PA| = √(5/4·x^2 - 9·x + 29) ist minimal

|PA|^2 = 5/4·x^2 - 9·x + 29 ist minimal. Damit muss die Ableitung Null sein.

(|PA|^2)' = 5/2·x - 9 = 0
x = 18/5 = 3.6

PA = [x - 2, x/2 - 5] = [8/5, - 16/5] = [1.6, -3.2]

Hilfreich könnte eine Skizze sein. Die könntest du dir für |PA| mal anfertigen.

1.4) Zeige, dass der Vektor PA* mit A*(3,6|-0,2) aus Aufgabe 1.3 auf der Geraden g senkrecht steht. Begründe geometrisch, dass dieser Vektor den kleinsten Betrag hat.

PA* = A* - P = (3,6 | -0,2) - (2, 3) = [1.6, -3.2]

Die Gerade g hat den Normalenvektor [1, -2]. Das erkennt man an der Koeffizienten vor x und y. Dieser ist allerdings parallel / kolinear zu PA bzw. PA*. Damit ist PA senkrecht zu g.

Versuch dich mal selber an der geometrischen deutung und an der Aufgabe 1.5

1.5 Führe die Aufgabenteile 1.1 - 1.4 für den Punkt P (4|1) durch (würd ich nochmal gern alleine probieren)

Das solltest du jetzt hinbekommen. Wenn du es hast. Kannst du es hier gerne zur Kontrolle hinschreiben.