Ist der Beweis korrekt?

Question

Ist folgender Beweis korrekt?

Zu beweisen ist: dass f(0) = 0 gilt fur  jeden Homomorphismus f : A → B zwischen zwei abelschen Gruppen.

Beweis:

Zu zeigen ist, dass f(0) neutral ist in B. Betrachte also ein beliebiges Element von B, etwa b = f(a). Dann gilt f(0) + b = f(0) + f(a) = f(0 + a) = f(a) = b, und entsprechend fur b + f(0). 

Answer 1

Die zentrale Idee deines Beweises ist richtig. Ein Detail ist falsch, das kann aber leicht repariert werden.

> ein beliebiges Element von B, etwa b = f(a)

Es ist nicht gesagt, dass es zu jedem b∈B ein a∈A gibt, so dass b = f(a) ist. Anders ausgedrückt, der Homomorphismus muss nicht surjektiv sein.

Comments

wäre denn folgender Beweis korrekt?

f(0) = f(0 − 0) = f(0) − f(0) = 0

MfG 

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> f(0 − 0) = f(0) − f(0)

Hier benutzt du die Tatsache, dass Homomorphismen das zu 0 inverse Element auf das zu 0 inverse Element abbildet. Diese Behauptung ist zwar ricchtig, aber entweder du hast es schon bewiesen oder du musst es noch beweisen.

> das kann aber leicht repariert werden. das kann aber leicht repariert werden.

Damit habe ich gemeint, sei b ∈ Bild(f) und a ∈ A mit f(a) = b. Dann kannst du den Beweis genau so fortsetzen, wie du es gemacht hast.

Answer 2

dein Anfang  

> Betrachte also ein beliebiges Element von B, etwa b = f(a). 

ist bedenklich.

Ein Gruppenhomomorphismus muss i.A. nicht surjektiv sein.Deshalb kann man b∈B nicht einfach b = f(a) mit a∈A  zuordnen.

Aber du kannst deine Schlussfolgerung so schreiben:

(  ist die Verknüpung in der Gruppe A,  ⊗ in der Gruppe B ) 

Für alle a∈A gilt:  f(a) = f(0_A + a) = f(0_A) ⊗  f(a) 

Da das neutrale Element 0_B in B eindeutig ist → 0_B =  f(0_A) 

Gruß Wolfgang

Comments

wäre denn folgender Beweis korrekt?

f(0) = f(0 − 0) = f(0) − f(0) = 0

MfG 

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Wenn man in jeder Gruppe das inverse Element zu x als (-x) und die inversen Elemente beide mit 0 bezeichnet und  die "Subtraktion" durch     x - y := x + (-y) definiert - und dann den Überblick nicht verliert :-) -  kann man das so machen.

In jeder der Gruppen haben aber 0 und + (und dann auch - ) dann eine andere Bedeutung.

Habe deshalb die beiden Verknüpfungen in der Antwort  mit  + in A und mit ⊗ in B  und die neutralen Elemente zur Unterscheidung mit 0_A bzw. 0_B bezeichnet. 

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Wie beweist du, dass   f(-0)  =  -f(0)    ist ?

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hj2144 hat recht

f(0_A) = f(0_A + (-0_A)) = f(0_A) ⊗  f(-0_A) ergibt nicht so einfach 0_B