Verknüpfung und abelsche Gruppe

Question

Könnt ihr mir bitte helfen? Danke schön

Answer 1

* ist genau dann eine Verknüpfung auf X = ℝ \ {a}, wenn  für alle x,y ∈X  auch x*y  ∈ X gilt:

(x-a)  (y-a) + a ≠ a   ⇔  (x-a) * (y-a)  ≠ 0   ⇔  x=a oder y=a

Neutrales Element n:

n * x  =  (n-a) •  (x-a) + a = x   ⇔  n-a = (x-a)/(x-a)  ⇔ n = 1 - a   

x' * x = (x' - a) • (x-a) + a = 1- a   ⇔  x' = (1-2a) / (x-a) + a

Assoziativgesetz:

(x*y)*z = [ (x-a) • (y-a) + a ] * z = (x - a)·((y - a)·(z - a) + a - a) + a

     =  ...   =   x·y·z - a·x·y - a·x·z + a²·x - a·y·z + a²·y + a²·z - a³ + a

x*(y*z) = x * [ (y-a) • (z-a) + a ]  = ((x - a)·(y - a) + a - a)·(z - a) + a

      =  ...  =   x·y·z - a·x·y - a·x·z + a²·x - a·y·z + a²·y + a²·z - a³ + a

Kommutativgesetz:

x * y = (x-a) • (y-a) + a = (y-a) • (x-a) + a  = y * x

Gruß Wolfgang

Answer 2

Seien x,y aus X  und a wie in der Aufgabenstellung.

Für das erste musst du zeigen, dass das Ergebnis durch die Angabe der Def. eindeutig bestimmt ist
(Das ist offenbar so.) und das das Ergebnis  (x-a)(y-a) + a immer wieder in X liegt.

Wäre es nicht so, da wäre ja  (x-a)(y-a) + a = a
also   (x-a)(y-a) = 0

also x=a oder y=a  , was aber nicht möglich ist wegen  x,y aus X .
Passt also.

abelsche Gruppe:   Abgeschlossenheit hatten wir gerade, fehlt also
assoziativ ,  kommutativ und Existenz von Neutralen, und Inversen.assoziativ:  Seien  x,y,z aus X dann gilt

(x*y)*z
= (  (x-a)(y-a) + a ) * z
=(   (  (x-a)(y-a) + a )  - a )  * ( z - a )   +  a

... Das musst du jetzt so umformen, dass du das gleiche Ergebnis
erhältst wie bei
x*(y*z)
= x* (    (y-a)(z-a) + a )
= (x-a)  (    (y-a)(z-a) + a ) - a  )  +  aund für kommutativ entsprechend   x*y = y*x

neutrales Element n müsste liefern    n*x=x also

(n-a)(x-a) + a = x

Dazu muss wohl n = 1+a  sein  .

Und ein inverses zu x hast du mit einem y, für das   x*y = 1+a gilt

also   (y-a)(x-a) + a = 1+a 

           y-a    =  1 / (x-a)   also

               y =  a   +      1 / (x-a)    und das geht immer, da x nicht gleich a.

Answer 3

Hallo be1433, Wolfgang sagt, das neutrale Element sei 1 – a.  mathef sagt, das neutrale Element sei 1 + a.  Mag sein, dass du Wolfgang mit „Beste Antwort“ ausgezeichnet hast, aber mathef hat recht.  :-)