Wie berechne ich den Wert Nε einer konvergenten Folge?

Question

 Sei ε > 0, berechnen Sie ein Nε ∈N, so dass ∀n ∈N mit n > Nε :

∀n ∈ℕ mit n > Nε : $$\left| \frac { 2{ n }^{ 2 }\quad -2 }{ { n }^{ 2 }+3 } -2 \right| <ε $$Nun bin ich verwirrt: Kann ich hier ein ε ∈ℝ wählen und ein dazugehöriges Nε berechnen, oder muss ich ε als Variable behandeln und ein Nε unabhängig davon berechnen?

Answer 1

oder muss ich ε als Variable behandeln und ein Nε abhängig davon berechnen?     Ja!

etwa so

|  ( 2n² -2 ) /  ( n² + 3 )   -  2  |

=|  ( 2n² -2 ) /  ( n² + 3 )   -  2 ( n² + 3 )  /   ( n² + 3 )    |



= |  -8 ) /  ( n² + 3 )     |


= 8 / ( n² + 3 )     und das < eps gibt  

8 / eps  <    n² + 3

8 / eps  -  3  <    n²   

gilt jedenfalls für  Nε = 1 ,   wenn    8 / eps  -  3   negativ ist

und für   Nε =   kleinste nat. Zahl, die größer  √ ( 8 / eps  -  3)   ist ; in den anderen Fällen.

Comments

wie kommst du hier aus die -8?

=|  ( 2n² -2 ) /  ( n² + 3 )   -  2 ( n² + 3 )  /   ( n² + 3 )    | 



= |  -8 ) /  ( n² + 3 )     | 

---

=|  ( 2n² -2 ) /  ( n² + 3 )   -  2 ( n² + 3 )  /   ( n² + 3 )    | 

=| ( ( 2n² -2 ) -  2 ( n² + 3 )     ) /   ( n² + 3 )    | 

=| ( 2n² -2 -  2 n²    - 6 )     )/   ( n² + 3 )    |